Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  negelrp Structured version   Unicode version

Theorem negelrp 27387
Description: Elementhood of a negation in the positive real numbers (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
negelrp  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  A  <  0 ) )

Proof of Theorem negelrp
StepHypRef Expression
1 elrp 11234 . 2  |-  ( -u A  e.  RR+  <->  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) )
2 lt0neg1 10070 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
3 renegcl 9894 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
4 ibar 504 . . . 4  |-  ( -u A  e.  RR  ->  ( 0  <  -u A  <->  (
-u A  e.  RR  /\  0  <  -u A
) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  -u A  <->  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) ) )
62, 5bitr2d 254 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A
)  <->  A  <  0
) )
71, 6syl5bb 257 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u A  e.  RR+  <->  A  <  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   RRcr 9503   0cc0 9504    < clt 9640   -ucneg 9818   RR+crp 11232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-rp 11233
This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  27388  signsply0  28333
  Copyright terms: Public domain W3C validator