MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negdi Structured version   Unicode version

Theorem negdi 9778
Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negdi  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )

Proof of Theorem negdi
StepHypRef Expression
1 subneg 9770 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )
21negeqd 9716 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  -u B )  =  -u ( A  +  B
) )
3 negcl 9722 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
4 negsubdi 9777 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  -u ( A  -  -u B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
53, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  -u B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
62, 5eqtr3d 2497 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6201   CCcc 9392    + caddc 9397    - cmin 9707   -ucneg 9708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535  df-sub 9709  df-neg 9710
This theorem is referenced by:  negdi2  9779  negdid  9844  mulsub  9899  zeo  10839  xnegdi  11323  ceim1l  11804  mulgneg2  15774  gxsuc  23912  archirngz  26352  binomrisefac  27690
  Copyright terms: Public domain W3C validator