MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcon1 Structured version   Unicode version

Theorem negcon1 9802
Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
negcon1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  -u B  =  A ) )

Proof of Theorem negcon1
StepHypRef Expression
1 negcl 9751 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 neg11 9801 . . . 4  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u B  <->  -u A  =  B ) )
31, 2sylan 469 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u B  <->  -u A  =  B ) )
4 negneg 9800 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
54adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u -u A  =  A )
65eqeq1d 2394 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u B  <->  A  =  -u B ) )
73, 6bitr3d 255 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  A  =  -u B
) )
8 eqcom 2401 . 2  |-  ( A  =  -u B  <->  -u B  =  A )
97, 8syl6bb 261 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  -u B  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   CCcc 9419   -ucneg 9737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-ltxr 9562  df-sub 9738  df-neg 9739
This theorem is referenced by:  negcon2  9803  negcon1i  9832  negcon1d  9856  elznn0  10814
  Copyright terms: Public domain W3C validator