MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem negcld 9998
Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
negcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  CC )

Proof of Theorem negcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 negcl 9900 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897   CCcc 9562   -ucneg 9886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-ltxr 9705  df-sub 9887  df-neg 9888
This theorem is referenced by:  negcon1ad  10006  recextlem1  10269  mul2lt0rlt0  11426  xov1plusxeqvd  11806  ceim1l  12105  modnegd  12176  expaddzlem  12346  cjreb  13234  sqrtneg  13379  max0add  13421  iseraltlem2  13797  iseraltlem3  13798  fsumsub  13897  telfsumo2  13911  incexc  13943  incexc2  13944  fallrisefac  14126  binomrisefac  14143  efi4p  14239  oexpneg  14416  bitscmp  14460  bitsf1  14468  pcadd2  14883  gznegcl  14927  mulgdirlem  16830  mulgdir  16831  znunit  19182  cphsqrtcl2  22212  pjthlem1  22439  mbfsub  22666  iblcnlem1  22793  itgcnlem  22795  iblneg  22808  itgneg  22809  iblsub  22827  itgsub  22831  ditgcl  22861  dvrec  22957  dvmptsub  22969  dvsincos  22981  rolle  22990  vieta1lem2  23312  vieta1  23313  sinmpi  23490  cosmpi  23491  sinppi  23492  cosppi  23493  tanabsge  23509  efeq1  23526  tanord  23535  logtayl  23653  logtayl2  23655  logccv  23656  cxpneg  23674  cxpmul2z  23684  logreclem  23747  cosangneg2d  23784  isosctrlem2  23796  isosctrlem3  23797  angpieqvdlem  23802  quad2  23813  dcubic1lem  23817  dcubic2  23818  dcubic  23820  mcubic  23821  dquartlem1  23825  dquartlem2  23826  dquart  23827  quartlem1  23831  quartlem2  23832  quartlem3  23833  quartlem4  23834  quart  23835  asinlem  23842  asinlem2  23843  asinneg  23860  sinasin  23863  cosasin  23878  atandmneg  23880  tanatan  23893  atandmtan  23894  atantan  23897  atantayl  23911  zetacvg  23988  dmgmaddnn0  24000  lgamgulmlem2  24003  lgamgulmlem4  24005  lgambdd  24010  lgamucov  24011  ftalem4  24048  ftalem5  24049  ftalem4OLD  24050  ftalem5OLD  24051  ftalem7  24053  basellem5  24059  chpdifbndlem1  24439  padicabvcxp  24518  brbtwn2  24983  gxsuc  26048  ipasslem2  26521  pjhthlem1  27092  divnumden2  28429  archirngz  28554  madjusmdetlem4  28704  poimirlem29  32013  dvtan  32036  itg2addnclem3  32039  iblsubnc  32047  itgsubnc  32048  itgmulc2nc  32054  ftc1anclem5  32065  ftc1anclem8  32068  dvasin  32072  areacirclem1  32076  pell1234qrreccl  35744  pell14qrdich  35759  rmxyneg  35812  acongsym  35870  jm2.26a  35899  jm2.26lem3  35900  expgrowth  36727  binomcxplemdvbinom  36745  binomcxplemnotnn0  36748  sineq0ALT  37373  fzisoeu  37555  fperiodmul  37559  m1expevenOLD  37707  isumneg  37717  climneg  37726  neglimc  37765  sublimc  37770  reclimc  37771  dvcosre  37818  dvrecg  37819  dvmptdiv  37826  dvcosax  37835  itgsin0pilem1  37863  itgsinexplem1  37867  itgsincmulx  37888  stoweidlem13  37910  stirlinglem5  37977  dirkertrigeqlem3  37999  fourierdlem30  38036  fourierdlem39  38046  fourierdlem40  38047  fourierdlem41  38048  fourierdlem43  38051  fourierdlem47  38054  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem73  38080  fourierdlem78  38085  fourierdlem92  38099  fourierdlem101  38108  fourierdlem103  38110  fourierdlem111  38118  sqwvfoura  38129  fouriersw  38132  etransclem17  38153  etransclem18  38154  etransclem23  38159  etransclem46  38182  sigarms  38502  sigaradd  38512  oexpnegALTV  38843  oexpnegnz  38844  2zrngagrp  40215  altgsumbc  40405  dignn0flhalflem1  40698
  Copyright terms: Public domain W3C validator