MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neg1lt0 Structured version   Unicode version

Theorem neg1lt0 10638
Description: -1 is less than 0 (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
neg1lt0  |-  -u 1  <  0

Proof of Theorem neg1lt0
StepHypRef Expression
1 neg0 9861 . . 3  |-  -u 0  =  0
2 0lt1 10071 . . 3  |-  0  <  1
31, 2eqbrtri 4466 . 2  |-  -u 0  <  1
4 1re 9591 . . 3  |-  1  e.  RR
5 0re 9592 . . 3  |-  0  e.  RR
64, 5ltnegcon1i 10100 . 2  |-  ( -u
1  <  0  <->  -u 0  <  1 )
73, 6mpbir 209 1  |-  -u 1  <  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4447   0cc0 9488   1c1 9489    < clt 9624   -ucneg 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804
This theorem is referenced by:  nthruz  13839  xrhmph  21179  vitalilem4  21752  vitali  21754  atanre  22941  lgsdir2lem3  23325  ballotlem1c  28083  sgnnbi  28121  sgnpbi  28122  sgnsgn  28124  sgnmulsgn  28125  signswch  28155  fz0n  28582  risefall0lem  28722  binomfallfaclem2  28736  asindmre  29677  stoweidlem7  31307  stirlinglem6  31379  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator