MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0d Structured version   Unicode version

Theorem ne0gt0d 9614
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ne0gt0d.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
ne0gt0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
ne0gt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem ne0gt0d
StepHypRef Expression
1 ne0gt0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ne0gt0d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
4 ne0gt0 9582 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )
61, 5mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392   RRcr 9384   0cc0 9385    < clt 9521    <_ cle 9522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527
This theorem is referenced by:  sqrgt0  12852  absrpcl  12881  sqreulem  12951  efgt0  13491  abvgt0  17021  nmrpcl  20329  lebnumlem1  20651  ipcau2  20867  recxpcl  22238  mulcxp  22248  rlimcnp  22477  lgsdilem  22779  pntleml  22978  ttgcontlem1  23268  axsegconlem6  23305  axpaschlem  23323  axcontlem2  23348  axcontlem4  23350  axcontlem7  23353  xrge0iifhom  26503  cndprobprob  26957  tan2h  28564  dvasin  28620
  Copyright terms: Public domain W3C validator