MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0 Structured version   Unicode version

Theorem ne0gt0 9641
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
ne0gt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )

Proof of Theorem ne0gt0
StepHypRef Expression
1 0re 9546 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 lttri2 9618 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
31, 2mpan2 669 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  < 
A ) ) )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
5 lenlt 9614 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
61, 5mpan 668 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
76biimpa 482 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -.  A  <  0
)
8 biorf 403 . . 3  |-  ( -.  A  <  0  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
104, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   RRcr 9441   0cc0 9442    < clt 9578    <_ cle 9579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584
This theorem is referenced by:  ne0gt0d  9674  hashneq0  12389  fvmptnn04ifb  19536  mdegle0  22661  nvgt0  25872
  Copyright terms: Public domain W3C validator