MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0 Structured version   Unicode version

Theorem ne0gt0 9589
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
ne0gt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )

Proof of Theorem ne0gt0
StepHypRef Expression
1 0re 9496 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 lttri2 9567 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  < 
A ) ) )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
5 lenlt 9563 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
61, 5mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
76biimpa 484 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -.  A  <  0
)
8 biorf 405 . . 3  |-  ( -.  A  <  0  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
104, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =/=  0  <->  0  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2647   class class class wbr 4399   RRcr 9391   0cc0 9392    < clt 9528    <_ cle 9529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534
This theorem is referenced by:  ne0gt0d  9621  hashneq0  12248  mdegle0  21680  nvgt0  24214  fvmptnn04ifb  31322
  Copyright terms: Public domain W3C validator