Theorem ndvdssub 13710

Description: Corollary of the Division Algorithm. If an integer D greater than 1 divides N, then it does not divide any of N - 1, N - 2... N - (D - 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdssub	|- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ (K e. NN /\ K < D)) -> (D||N -> -. D||(N - K)))

Proof of Theorem ndvdssub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (r = K -> (r < D <-> K < D))
2		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (r = K -> (N - r) = (N - K))
3	2	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (r = K -> (D||(N - r) <-> D||(N - K)))
4	1, 3	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (r = K -> ((r < D /\ D||(N - r)) <-> (K < D /\ D||(N - K))))
5		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (r = K -> (r = 0 <-> K = 0))
6	4, 5	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (r = K -> (((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0) <-> ((K < D /\ D||(N - K)) -> K = 0)))
7	6	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. NN0 -> (A.r e. NN0 ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0) -> ((K < D /\ D||(N - K)) -> K = 0)))
8		divalg2 13708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> E!r e. NN0 (r < D /\ D||(N - r)))
9		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (r = x -> (r < D <-> x < D))
10		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (r = x -> (N - r) = (N - x))
11	10	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (r = x -> (D||(N - r) <-> D||(N - x)))
12	9, 11	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (r = x -> ((r < D /\ D||(N - r)) <-> (x < D /\ D||(N - x))))
13	12	reu4 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (E!r e. NN0 (r < D /\ D||(N - r)) <-> (E.r e. NN0 (r < D /\ D||(N - r)) /\ A.r e. NN0 A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x)))
14	8, 13	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> (E.r e. NN0 (r < D /\ D||(N - r)) /\ A.r e. NN0 A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x)))
15	14	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> A.r e. NN0 A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x))
16		0nn0 7322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. NN0
17		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x = 0 -> (x < D <-> 0 < D))
18		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (x = 0 -> (N - x) = (N - 0))
19	18	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x = 0 -> (D||(N - x) <-> D||(N - 0)))
20	17, 19	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x = 0 -> ((x < D /\ D||(N - x)) <-> (0 < D /\ D||(N - 0))))
21	20	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x = 0 -> (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) <-> ((r < D /\ D||(N - r)) /\ (0 < D /\ D||(N - 0)))))
22		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x = 0 -> (r = x <-> r = 0))
23	21, 22	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x = 0 -> ((((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x) <-> (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (0 < D /\ D||(N - 0))) -> r = 0)))
24	23	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (0 e. NN0 -> (A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x) -> (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (0 < D /\ D||(N - 0))) -> r = 0)))
25	16, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x) -> (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (0 < D /\ D||(N - 0))) -> r = 0))
26		nngt0 7129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (D e. NN -> 0 < D)
27	26	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> 0 < D)
28		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
29		subid1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (N e. CC -> (N - 0) = N)
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (N e. ZZ -> (N - 0) = N)
31	30	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (N e. ZZ -> (D||(N - 0) <-> D||N))
32	31	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((N e. ZZ /\ D||N) -> D||(N - 0))
33	32	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> D||(N - 0))
34	27, 33	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (0 < D /\ D||(N - 0)))
35	34	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> (0 < D /\ D||(N - 0)))
36	35	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((r < D /\ D||(N - r)) /\ ((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N)) -> ((r < D /\ D||(N - r)) /\ (0 < D /\ D||(N - 0))))
37	36	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) /\ (r < D /\ D||(N - r))) -> ((r < D /\ D||(N - r)) /\ (0 < D /\ D||(N - 0))))
38	25, 37	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x) -> ((((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) /\ (r < D /\ D||(N - r))) -> r = 0))
39	38	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x) -> (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)))
40	39	ralimi 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.r e. NN0 A.x e. NN0 (((r < D /\ D||(N - r)) /\ (x < D /\ D||(N - x))) -> r = x) -> A.r e. NN0 (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)))
41	15, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> A.r e. NN0 (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)))
42		r19.21v 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.r e. NN0 (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)) <-> (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> A.r e. NN0 ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)))
43	41, 42	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> (((N e. ZZ /\ D e. NN) /\ D||N) -> A.r e. NN0 ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)))
44	43	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> (D||N -> A.r e. NN0 ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0))))
45	44	pm2.43i 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> (D||N -> A.r e. NN0 ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0)))
46	45	3impia 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> A.r e. NN0 ((r < D /\ D||(N - r)) -> r = 0))
47	7, 46	syl5com 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K e. NN0 -> ((K < D /\ D||(N - K)) -> K = 0)))
48		pm4.14 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K < D /\ D||(N - K)) -> K = 0) <-> ((K < D /\ -. K = 0) -> -. D||(N - K)))
49	47, 48	syl6ib 229	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K e. NN0 -> ((K < D /\ -. K = 0) -> -. D||(N - K))))
50		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . 12 |- (K =/= 0 <-> -. K = 0)
51	50	anbi2i 538	. . . . . . . . . . 11 |- ((K < D /\ K =/= 0) <-> (K < D /\ -. K = 0))
52	49, 51	syl7ib 233	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K e. NN0 -> ((K < D /\ K =/= 0) -> -. D||(N - K))))
53	52	exp4a 409	. . . . . . . . 9 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K e. NN0 -> (K < D -> (K =/= 0 -> -. D||(N - K)))))
54	53	com23 36	. . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K < D -> (K e. NN0 -> (K =/= 0 -> -. D||(N - K)))))
55	54	imp4a 391	. . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K < D -> ((K e. NN0 /\ K =/= 0) -> -. D||(N - K))))
56		nnnn0 7315	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> K e. NN0)
57		nnne0 7132	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> K =/= 0)
58	56, 57	jca 310	. . . . . . 7 |- (K e. NN -> (K e. NN0 /\ K =/= 0))
59	55, 58	syl7 26	. . . . . 6 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K < D -> (K e. NN -> -. D||(N - K))))
60	59	com23 36	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> (K e. NN -> (K < D -> -. D||(N - K))))
61	60	imp3a 388	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ D||N) -> ((K e. NN /\ K < D) -> -. D||(N - K)))
62	61	3expia 1069	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> (D||N -> ((K e. NN /\ K < D) -> -. D||(N - K))))
63	62	com23 36	. 2 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN) -> ((K e. NN /\ K < D) -> (D||N -> -. D||(N - K))))
64	63	3impia 1064	1 |- ((N e. ZZ /\ D e. NN /\ (K e. NN /\ K < D)) -> (D||N -> -. D||(N - K)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  ||cdivides 13662

This theorem is referenced by:  ndvdsadd 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-divides 13663

Copyright terms: Public domain