MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmovrcl Structured version   Unicode version

Theorem ndmovrcl 6254
Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
ndmov.1  |-  dom  F  =  ( S  X.  S )
ndmovrcl.3  |-  -.  (/)  e.  S
Assertion
Ref Expression
ndmovrcl  |-  ( ( A F B )  e.  S  ->  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )
)

Proof of Theorem ndmovrcl
StepHypRef Expression
1 ndmovrcl.3 . . 3  |-  -.  (/)  e.  S
2 ndmov.1 . . . . 5  |-  dom  F  =  ( S  X.  S )
32ndmov 6252 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  =  (/) )
43eleq1d 2509 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  ->  ( ( A F B )  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
51, 4mtbiri 303 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
)  ->  -.  ( A F B )  e.  S )
65con4i 130 1  |-  ( ( A F B )  e.  S  ->  ( A  e.  S  /\  B  e.  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3642    X. cxp 4843   dom cdm 4845  (class class class)co 6096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-xp 4851  df-dm 4855  df-iota 5386  df-fv 5431  df-ov 6099
This theorem is referenced by:  ndmovass  6256  ndmovdistr  6257  ndmovord  6258  ndmovordi  6259  caovmo  6305  brecop2  7199  eceqoveq  7210  addcanpi  9073  mulcanpi  9074  ordpipq  9116  recmulnq  9138  recclnq  9140  ltexnq  9149  nsmallnq  9151  ltbtwnnq  9152  prlem934  9207  ltaddpr  9208  ltaddpr2  9209  ltexprlem2  9211  ltexprlem3  9212  ltexprlem4  9213  ltexprlem6  9215  ltexprlem7  9216  addcanpr  9220  prlem936  9221  mappsrpr  9280
  Copyright terms: Public domain W3C validator