Theorem ndmord 4983

Description: Elimination of redundant antecedents in an ordering law.

Hypotheses

Ref	Expression
ndmopr.1	|- B e. _V
ndmopr.2	|- dom F = (S X. S)
ndmord.3	|- A e. _V
ndmord.4	|- R C_ (S X. S)
ndmord.5	|- -. (/) e. S
ndmord.6	|- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Assertion

Ref	Expression
ndmord	|- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Proof of Theorem ndmord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmord.6	. . 3 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))
2	1	3expia 1069	. 2 |- ((A e. S /\ B e. S) -> (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB))))
3		ndmopr.1	. . . . 5 |- B e. _V
4		ndmord.4	. . . . 5 |- R C_ (S X. S)
5	3, 4	brel 4048	. . . 4 |- (ARB -> (A e. S /\ B e. S))
6		oprex 4907	. . . . . 6 |- (CFB) e. _V
7	6, 4	brel 4048	. . . . 5 |- ((CFA)R(CFB) -> ((CFA) e. S /\ (CFB) e. S))
8		ndmord.3	. . . . . . . 8 |- A e. _V
9		ndmopr.2	. . . . . . . 8 |- dom F = (S X. S)
10		ndmord.5	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. S
11	8, 9, 10	ndmoprrcl 4979	. . . . . . 7 |- ((CFA) e. S -> (C e. S /\ A e. S))
12	11	simprd 352	. . . . . 6 |- ((CFA) e. S -> A e. S)
13	3, 9, 10	ndmoprrcl 4979	. . . . . . 7 |- ((CFB) e. S -> (C e. S /\ B e. S))
14	13	simprd 352	. . . . . 6 |- ((CFB) e. S -> B e. S)
15	12, 14	anim12i 360	. . . . 5 |- (((CFA) e. S /\ (CFB) e. S) -> (A e. S /\ B e. S))
16	7, 15	syl 12	. . . 4 |- ((CFA)R(CFB) -> (A e. S /\ B e. S))
17	5, 16	pm5.21ni 742	. . 3 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))
18	17	a1d 15	. 2 |- (-. (A e. S /\ B e. S) -> (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB))))
19	2, 18	pm2.61i 140	1 |- (C e. S -> (ARB <-> (CFA)R(CFB)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  ltapi 6182  ltmpi 6183  ltapq 6228  ltmpq 6229  ltapr 6303  ltasr 6361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain