Theorem ndmoprg 4976

Description: The value of an operation outside its domain.

Assertion

Ref	Expression
ndmoprg	|- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem ndmoprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . . 5 |- (dom F = (R X. S) -> (<.A, B>. e. dom F <-> <.A, B>. e. (R X. S)))
2		opelxpg 4039	. . . . 5 |- (B e. C -> (<.A, B>. e. (R X. S) <-> (A e. R /\ B e. S)))
3	1, 2	sylan9bb 599	. . . 4 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (<.A, B>. e. dom F <-> (A e. R /\ B e. S)))
4	3	notbid 673	. . 3 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. <.A, B>. e. dom F <-> -. (A e. R /\ B e. S)))
5		ndmfv 4702	. . . 4 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
6		df-opr 4886	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
7	5, 6	syl5eq 1940	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (AFB) = (/))
8	4, 7	syl6bir 232	. 2 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. (A e. R /\ B e. S) -> (AFB) = (/)))
9	8	3impia 1064	1 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  ndmoprcl 4977  ndmopr 4978  curry1val 5077  curry2val 5080  ndmioo 7537  elioo3g 7547  elfz2 7642  clsrebb 14844  hmeogrp 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain