Theorem ndmioo 7537

Description: The open interval function's value is empty outside of its domain.

Assertion

Ref	Expression
ndmioo	|- (-. (A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = (/))

Proof of Theorem ndmioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 6659	. . . . . 6 |- RR* e. _V
2	1	rabex 3461	. . . . 5 |- {w e. RR* | (x < w /\ w < y)} e. _V
3		df-ioo 7528	. . . . 5 |- (,) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. RR* /\ y e. RR*) /\ z = {w e. RR* | (x < w /\ w < y)})}
4	2, 3	dmoprab2 5065	. . . 4 |- dom (,) = (RR* X. RR*)
5		ndmoprg 4976	. . . 4 |- ((dom (,) = (RR* X. RR*) /\ B e. _V /\ -. (A e. RR* /\ B e. RR*)) -> (A(,)B) = (/))
6	4, 5	mp3an1 1178	. . 3 |- ((B e. _V /\ -. (A e. RR* /\ B e. RR*)) -> (A(,)B) = (/))
7	6	expcom 403	. 2 |- (-. (A e. RR* /\ B e. RR*) -> (B e. _V -> (A(,)B) = (/)))
8		oprprc2 4909	. . 3 |- (-. B e. _V -> (A(,)B) = (A(,)A))
9		xrleid 6735	. . . . . 6 |- (A e. RR* -> A <_ A)
10	9	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ A e. RR*) -> A <_ A)
11		ioo0 7535	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ A e. RR*) -> ((A(,)A) = (/) <-> A <_ A))
12	10, 11	mpbird 213	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ A e. RR*) -> (A(,)A) = (/))
13		ndmoprg 4976	. . . . . . 7 |- ((dom (,) = (RR* X. RR*) /\ A e. _V /\ -. (A e. RR* /\ A e. RR*)) -> (A(,)A) = (/))
14	4, 13	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ -. (A e. RR* /\ A e. RR*)) -> (A(,)A) = (/))
15	14	expcom 403	. . . . 5 |- (-. (A e. RR* /\ A e. RR*) -> (A e. _V -> (A(,)A) = (/)))
16		relxp 4088	. . . . . . 7 |- Rel (RR* X. RR*)
17	4	releqi 4072	. . . . . . 7 |- (Rel dom (,) <-> Rel (RR* X. RR*))
18	16, 17	mpbir 207	. . . . . 6 |- Rel dom (,)
19	18	oprprc1 4908	. . . . 5 |- (-. A e. _V -> (A(,)A) = (/))
20	15, 19	pm2.61d1 142	. . . 4 |- (-. (A e. RR* /\ A e. RR*) -> (A(,)A) = (/))
21	12, 20	pm2.61i 140	. . 3 |- (A(,)A) = (/)
22	8, 21	syl6eq 1944	. 2 |- (-. B e. _V -> (A(,)B) = (/))
23	7, 22	pm2.61d1 142	1 |- (-. (A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  _Vcvv 2292  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  Rel wrel 3991  (class class class)co 4884   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,)cioo 7524

This theorem is referenced by:  iooid 7538  eliooxr 7555  iooretop 8929  elioo1t3 14846  oisbmi 14847  oisbmj 14848  oibbi1 14853  oibbi2 14854

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528

Copyright terms: Public domain