Theorem ndmfv 4702

Description: The value of a class outside its domain is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ndmfv	|- (-. A e. dom F -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem ndmfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (x = A -> (x e. dom F <-> A e. dom F))
2		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xFy <-> AFy))
3	2	exbidv 1657	. . . . . 6 |- (x = A -> (E.y xFy <-> E.y AFy))
4		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
5	4	eldm 4153	. . . . . 6 |- (x e. dom F <-> E.y xFy)
6	1, 3, 5	vtoclbg 2347	. . . . 5 |- (A e. _V -> (A e. dom F <-> E.y AFy))
7		euex 1788	. . . . 5 |- (E!y AFy -> E.y AFy)
8	6, 7	syl5bir 227	. . . 4 |- (A e. _V -> (E!y AFy -> A e. dom F))
9	8	con3d 111	. . 3 |- (A e. _V -> (-. A e. dom F -> -. E!y AFy))
10		tz6.12-2 4696	. . 3 |- (-. E!y AFy -> (F` A) = (/))
11	9, 10	syl6 25	. 2 |- (A e. _V -> (-. A e. dom F -> (F` A) = (/)))
12		fvprc 4678	. . 3 |- (-. A e. _V -> (F` A) = (/))
13	12	a1d 15	. 2 |- (-. A e. _V -> (-. A e. dom F -> (F` A) = (/)))
14	11, 13	pm2.61i 140	1 |- (-. A e. dom F -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  _Vcvv 2292  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  ndmfvrcl 4703  elfvdm 4704  nfvres 4705  nfunsnOLD 4707  funfv 4731  fvco 4736  fvopab4ndm 4747  funiunfv 4842  oprprc1 4908  oprssdm 4975  ndmoprg 4976  1st2val 5038  2nd2val 5039  rdgsucopabn 5155  r1tr 5765  alephon 5876  alephcard 6015  alephnbtwn 6016  alephgeom 6030  cfub 6056  cardcf 6059  cflecard 6060  cfle 6061  uzssz 7599  alephadd 8851  issubg 9425  vsfval 9586  dmadjrnb 11467  hmdmadj 11501  fvrn0 13837  frsucopabn 13911  soseq 13955  nofv 13998  bdayelon 14017  axdenselem2 14020  axfelem12 14042  fvsnn 14450  unprj 14511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain