MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmfv Structured version   Unicode version

Theorem ndmfv 5888
Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
ndmfv  |-  ( -.  A  e.  dom  F  ->  ( F `  A
)  =  (/) )

Proof of Theorem ndmfv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 euex 2303 . . . . 5  |-  ( E! x  A F x  ->  E. x  A F x )
2 eldmg 5196 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  F  <->  E. x  A F x ) )
31, 2syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E! x  A F x  ->  A  e.  dom  F ) )
43con3d 133 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  dom  F  ->  -.  E! x  A F x ) )
5 tz6.12-2 5855 . . 3  |-  ( -.  E! x  A F x  ->  ( F `  A )  =  (/) )
64, 5syl6 33 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  dom  F  ->  ( F `  A )  =  (/) ) )
7 fvprc 5858 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F `  A )  =  (/) )
87a1d 25 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  dom  F  ->  ( F `  A )  =  (/) ) )
96, 8pm2.61i 164 1  |-  ( -.  A  e.  dom  F  ->  ( F `  A
)  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E!weu 2275   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  ndmfvrcl  5889  elfvdm  5890  nfvres  5894  fvfundmfvn0  5896  0fv  5897  funfv  5932  fvun1  5936  fvco4i  5943  fvmpti  5947  fvmptss  5956  fvmptex  5958  fvmptnf  5965  fvmptss2  5967  elfvmptrab1  5968  fvopab4ndm  5970  f0cli  6030  funiunfv  6146  ovprc  6309  oprssdm  6438  nssdmovg  6439  ndmovg  6440  1st2val  6807  2nd2val  6808  bropopvvv  6860  curry1val  6873  curry2val  6877  smofvon2  7024  rdgsucmptnf  7092  frsucmptn  7101  brwitnlem  7154  undifixp  7502  r1tr  8190  rankvaln  8213  cardidm  8336  carden2a  8343  carden2b  8344  carddomi2  8347  sdomsdomcardi  8348  pm54.43lem  8376  alephcard  8447  alephnbtwn  8448  alephgeom  8459  cfub  8625  cardcf  8628  cflecard  8629  cfle  8630  cflim2  8639  cfidm  8651  itunisuc  8795  itunitc1  8796  ituniiun  8798  alephadd  8948  alephreg  8953  pwcfsdom  8954  cfpwsdom  8955  adderpq  9330  mulerpq  9331  uzssz  11097  ltweuz  12036  wrdsymb0  12536  lsw0  12547  swrd00  12604  swrd0  12617  sumz  13503  sumss  13505  sumnul  13534  divsfval  14798  cidpropd  14962  homarcl  15209  arwval  15224  coafval  15245  lubval  15467  glbval  15480  joinval  15488  meetval  15502  gsumpropd2lem  15818  mpfrcl  17958  iscnp2  19506  setsmstopn  20716  tngtopn  20899  pcofval  21245  dvbsss  22041  perfdvf  22042  dchrrcl  23243  eleenn  23875  clwwlknprop  24448  2wlkonot3v  24551  2spthonot3v  24552  vsfval  25204  dmadjrnb  26501  hmdmadj  26535  prod1  28653  prodss  28656  rdgprc0  28803  soseq  28911  nofv  28994  sltres  29001  bdayelon  29017  fvnobday  29019  fullfunfv  29174  linedegen  29370  itgocn  30718  bj-inftyexpidisj  33685  dibvalrel  35960  dicvalrelN  35982  dihvalrel  36076
  Copyright terms: Public domain W3C validator