MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd3 Structured version   Unicode version

Theorem nd3 8965
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )

Proof of Theorem nd3
StepHypRef Expression
1 elirrv 8024 . . . 4  |-  -.  x  e.  x
2 elequ2 1772 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  x  e.  y ) )
31, 2mtbii 302 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
43sps 1814 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
5 sp 1808 . 2  |-  ( A. z  x  e.  y  ->  x  e.  y )
64, 5nsyl 121 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-reg 8019
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-nul 3786  df-sn 4028  df-pr 4030
This theorem is referenced by:  nd4  8966  axrepnd  8970  axpowndlem3  8976  axpowndlem3OLD  8977  axinfnd  8985  axacndlem3  8988  axacnd  8991
  Copyright terms: Public domain W3C validator