Theorem nd3 6092

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd3	|- (A.x x = y -> -. A.z x e. y)

Proof of Theorem nd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-4 1319	. 2 |- (A.x x = y -> x = y)
2		elirrv 5700	. . 3 |- -. x e. x
3		elequ2 1497	. . 3 |- (x = y -> (x e. x <-> x e. y))
4	2, 3	mtbii 784	. 2 |- (x = y -> -. x e. y)
5		ax-4 1319	. . 3 |- (A.z x e. y -> x e. y)
6	5	con3i 114	. 2 |- (-. x e. y -> -. A.z x e. y)
7	1, 4, 6	3syl 24	1 |- (A.x x = y -> -. A.z x e. y)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300

This theorem is referenced by:  nd4 6093  axrepnd 6098  axpowndlem3 6103  axinfnd 6110  axacndlem3 6113  axacnd 6116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain