MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd2 Structured version   Unicode version

Theorem nd2 8954
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )

Proof of Theorem nd2
StepHypRef Expression
1 elirrv 8015 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2096 . . . 4  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  [ z  /  y ] z  e.  y )
31nfnth 1633 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ2 1828 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2151 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] z  e.  y  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 196 . . 3  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  z  e.  z )
71, 6mto 176 . 2  |-  -.  A. y  z  e.  y
8 axc11 2058 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  z  e.  y  ->  A. y 
z  e.  y ) )
97, 8mtoi 178 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1396   [wsb 1744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019
This theorem is referenced by:  axrepnd  8960  axpownd  8967  axinfndlem1  8972  axacndlem4  8977
  Copyright terms: Public domain W3C validator