MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd2 Structured version   Unicode version

Theorem nd2 8839
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )

Proof of Theorem nd2
StepHypRef Expression
1 elirrv 7899 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2050 . . . 4  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  [ z  /  y ] z  e.  y )
31nfnth 1602 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ2 1762 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2106 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] z  e.  y  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 196 . . 3  |-  ( A. y  z  e.  y  ->  z  e.  z )
71, 6mto 176 . 2  |-  -.  A. y  z  e.  y
8 axc11 2004 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  z  e.  y  ->  A. y 
z  e.  y ) )
97, 8mtoi 178 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1368   [wsb 1701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pr 4615  ax-reg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-v 3056  df-dif 3415  df-un 3417  df-nul 3722  df-sn 3962  df-pr 3964
This theorem is referenced by:  axrepnd  8845  axpownd  8854  axinfndlem1  8859  axacndlem4  8864
  Copyright terms: Public domain W3C validator