MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd1 Structured version   Unicode version

Theorem nd1 8855
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )

Proof of Theorem nd1
StepHypRef Expression
1 elirrv 7916 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2051 . . . 4  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  [ z  /  y ] y  e.  z )
31nfnth 1602 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ1 1761 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  z  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2107 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] y  e.  z  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 196 . . 3  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  z  e.  z )
71, 6mto 176 . 2  |-  -.  A. y  y  e.  z
8 axc11 2011 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  A. y 
y  e.  z ) )
97, 8mtoi 178 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1368   [wsb 1702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632  ax-reg 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-nul 3739  df-sn 3979  df-pr 3981
This theorem is referenced by:  axrepnd  8862  axinfndlem1  8876  axinfnd  8877  axacndlem1  8878  axacndlem2  8879
  Copyright terms: Public domain W3C validator