MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nd1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nd1 9012
Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 1-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nd1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )

Proof of Theorem nd1
StepHypRef Expression
1 elirrv 8112 . . 3  |-  -.  z  e.  z
2 stdpc4 2184 . . . 4  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  [ z  /  y ] y  e.  z )
31nfnth 1679 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  z
4 elequ1 1894 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  z  <->  z  e.  z ) )
53, 4sbie 2237 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] y  e.  z  <->  z  e.  z )
62, 5sylib 200 . . 3  |-  ( A. y  y  e.  z  ->  z  e.  z )
71, 6mto 180 . 2  |-  -.  A. y  y  e.  z
8 axc11 2148 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  A. y 
y  e.  z ) )
97, 8mtoi 182 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1442   [wsb 1797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-reg 8107
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-nul 3732  df-sn 3969  df-pr 3971
This theorem is referenced by:  axrepnd  9019  axinfndlem1  9030  axinfnd  9031  axacndlem1  9032  axacndlem2  9033
  Copyright terms: Public domain W3C validator