Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nconsubb Structured version   Unicode version

Theorem nconsubb 20375
 Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nconsubb.2 TopOn
nconsubb.3
nconsubb.4
nconsubb.5
nconsubb.6
nconsubb.7
nconsubb.8
nconsubb.9
Assertion
Ref Expression
nconsubb t

Proof of Theorem nconsubb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconsubb.9 . 2
2 nconsubb.2 . . . 4 TopOn
3 nconsubb.3 . . . 4
4 consuba 20372 . . . 4 TopOn t
52, 3, 4syl2anc 665 . . 3 t
6 nconsubb.6 . . . . 5
7 nconsubb.7 . . . . 5
8 nconsubb.8 . . . . 5
96, 7, 83jca 1185 . . . 4
10 nconsubb.4 . . . . 5
11 nconsubb.5 . . . . 5
12 ineq1 3595 . . . . . . . . 9
1312neeq1d 2655 . . . . . . . 8
14 ineq1 3595 . . . . . . . . . 10
1514ineq1d 3601 . . . . . . . . 9
1615eqeq1d 2425 . . . . . . . 8
1713, 163anbi13d 1337 . . . . . . 7
18 uneq1 3551 . . . . . . . . 9
1918ineq1d 3601 . . . . . . . 8
2019neeq1d 2655 . . . . . . 7
2117, 20imbi12d 321 . . . . . 6
22 ineq1 3595 . . . . . . . . 9
2322neeq1d 2655 . . . . . . . 8
24 ineq2 3596 . . . . . . . . . 10
2524ineq1d 3601 . . . . . . . . 9
2625eqeq1d 2425 . . . . . . . 8
2723, 263anbi23d 1338 . . . . . . 7
28 dfss1 3605 . . . . . . . . 9
2928necon3bbii 2643 . . . . . . . 8
30 uneq2 3552 . . . . . . . . . 10
3130sseq2d 3430 . . . . . . . . 9
3231notbid 295 . . . . . . . 8
3329, 32syl5bbr 262 . . . . . . 7
3427, 33imbi12d 321 . . . . . 6
3521, 34rspc2v 3129 . . . . 5
3610, 11, 35syl2anc 665 . . . 4
379, 36mpid 42 . . 3
385, 37sylbid 218 . 2 t
391, 38mt2d 120 1 t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2594  wral 2709   cun 3372   cin 3373   wss 3374  c0 3699  cfv 5539  (class class class)co 6244   ↾t crest 15257  TopOnctopon 19855  ccon 20363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7520  df-fin 7523  df-fi 7873  df-rest 15259  df-topgen 15280  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-cld 19971  df-con 20364 This theorem is referenced by:  iunconlem  20379  clscon  20382  reconnlem1  21781  ordtconlem1  28677
 Copyright terms: Public domain W3C validator