Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbusgrf1o0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nbusgrf1o0 39607
Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
nbusgrf1o1.e  |-  E  =  (Edg `  G )
nbusgrf1o1.n  |-  N  =  ( G NeighbVtx  U )
nbusgrf1o1.i  |-  I  =  { e  e.  E  |  U  e.  e }
nbusgrf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  { U ,  n } )
Assertion
Ref Expression
nbusgrf1o0  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Distinct variable groups:    e, E    U, e    n, E    e, G, n    e, I, n   
e, N, n    U, n    e, V, n    e, F
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem nbusgrf1o0
StepHypRef Expression
1 nbusgrf1o1.n . . . . . 6  |-  N  =  ( G NeighbVtx  U )
21eleq2i 2541 . . . . 5  |-  ( n  e.  N  <->  n  e.  ( G NeighbVtx  U ) )
3 nbusgrf1o1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (Edg `  G )
43nbusgreledg 39585 . . . . . . 7  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( n  e.  ( G NeighbVtx  U )  <->  { n ,  U }  e.  E ) )
54adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  U )  <->  { n ,  U }  e.  E
) )
6 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  { n ,  U }  =  { U ,  n }
76eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n ,  U }  e.  E  <->  { U ,  n }  e.  E )
87biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( { n ,  U }  e.  E  ->  { U ,  n }  e.  E
)
98adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  /\  {
n ,  U }  e.  E )  ->  { U ,  n }  e.  E
)
10 prid1g 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  n } )
1110adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  U  e.  { U ,  n } )
1211adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  /\  {
n ,  U }  e.  E )  ->  U  e.  { U ,  n } )
13 nbusgrf1o1.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  { e  e.  E  |  U  e.  e }
1413eleq2i 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( { U ,  n }  e.  I  <->  { U ,  n }  e.  { e  e.  E  |  U  e.  e } )
15 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  { U ,  n }  ->  ( U  e.  e  <->  U  e.  { U ,  n }
) )
1615elrab 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( { U ,  n }  e.  { e  e.  E  |  U  e.  e } 
<->  ( { U ,  n }  e.  E  /\  U  e.  { U ,  n } ) )
1714, 16bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( { U ,  n }  e.  I  <->  ( { U ,  n }  e.  E  /\  U  e.  { U ,  n } ) )
189, 12, 17sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  /\  {
n ,  U }  e.  E )  ->  { U ,  n }  e.  I
)
1918ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  ( { n ,  U }  e.  E  ->  { U ,  n }  e.  I ) )
205, 19sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  U )  ->  { U ,  n }  e.  I
) )
212, 20syl5bi 225 . . . 4  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  (
n  e.  N  ->  { U ,  n }  e.  I ) )
2221imp 436 . . 3  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N )  ->  { U ,  n }  e.  I
)
2322ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  A. n  e.  N  { U ,  n }  e.  I
)
2413rabeq2i 3028 . . . 4  |-  ( e  e.  I  <->  ( e  e.  E  /\  U  e.  e ) )
25 nbusgrf1o1.v . . . . 5  |-  V  =  (Vtx `  G )
2625, 3, 1edgnbusgreu 39605 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  /\  (
e  e.  E  /\  U  e.  e )
)  ->  E! n  e.  N  e  =  { U ,  n }
)
2724, 26sylan2b 483 . . 3  |-  ( ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  /\  e  e.  I )  ->  E! n  e.  N  e  =  { U ,  n } )
2827ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  A. e  e.  I  E! n  e.  N  e  =  { U ,  n }
)
29 nbusgrf1o.f . . 3  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  { U ,  n } )
3029f1ompt 6059 . 2  |-  ( F : N -1-1-onto-> I  <->  ( A. n  e.  N  { U ,  n }  e.  I  /\  A. e  e.  I  E! n  e.  N  e  =  { U ,  n } ) )
3123, 28, 30sylanbrc 677 1  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E!wreu 2758   {crab 2760   {cpr 3961    |-> cmpt 4454   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  Vtxcvtx 39251  Edgcedga 39371   USGraph cusgr 39397   NeighbVtx cnbgr 39561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-upgr 39328  df-umgr 39329  df-edga 39372  df-uspgr 39398  df-usgr 39399  df-nbgr 39565
This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  39608
  Copyright terms: Public domain W3C validator