Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbusgreledg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nbusgreledg 39471
Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex in a simple graph iff the vertices are endpoints of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nbusgreledg.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
nbusgreledg  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( N  e.  ( G NeighbVtx  K )  <->  { N ,  K }  e.  E ) )

Proof of Theorem nbusgreledg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . 4  |-  (Vtx `  G )  =  (Vtx
`  G )
2 nbusgreledg.e . . . 4  |-  E  =  (Edg `  G )
31, 2nbusgr 39467 . . 3  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( G NeighbVtx  K )  =  { n  e.  (Vtx `  G )  |  { K ,  n }  e.  E }
)
43eleq2d 2525 . 2  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( N  e.  ( G NeighbVtx  K )  <->  N  e.  { n  e.  (Vtx `  G )  |  { K ,  n }  e.  E }
) )
52, 1usgrpredgav 39328 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  { K ,  N }  e.  E
)  ->  ( K  e.  (Vtx `  G )  /\  N  e.  (Vtx `  G ) ) )
65simprd 469 . . . . 5  |-  ( ( G  e. USGraph  /\  { K ,  N }  e.  E
)  ->  N  e.  (Vtx `  G ) )
76ex 440 . . . 4  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( { K ,  N }  e.  E  ->  N  e.  (Vtx `  G ) ) )
87pm4.71rd 645 . . 3  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( { K ,  N }  e.  E  <->  ( N  e.  (Vtx `  G )  /\  { K ,  N }  e.  E ) ) )
9 prcom 4063 . . . . 5  |-  { N ,  K }  =  { K ,  N }
109eleq1i 2531 . . . 4  |-  ( { N ,  K }  e.  E  <->  { K ,  N }  e.  E )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( { N ,  K }  e.  E  <->  { K ,  N }  e.  E ) )
12 preq2 4065 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { K ,  n }  =  { K ,  N }
)
1312eleq1d 2524 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( { K ,  n }  e.  E  <->  { K ,  N }  e.  E )
)
1413elrab 3208 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  (Vtx `  G )  |  { K ,  n }  e.  E }  <->  ( N  e.  (Vtx `  G )  /\  { K ,  N }  e.  E ) )
1514a1i 11 . . 3  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( N  e. 
{ n  e.  (Vtx
`  G )  |  { K ,  n }  e.  E }  <->  ( N  e.  (Vtx `  G )  /\  { K ,  N }  e.  E ) ) )
168, 11, 153bitr4rd 294 . 2  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( N  e. 
{ n  e.  (Vtx
`  G )  |  { K ,  n }  e.  E }  <->  { N ,  K }  e.  E ) )
174, 16bitrd 261 1  |-  ( G  e. USGraph  ->  ( N  e.  ( G NeighbVtx  K )  <->  { N ,  K }  e.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   {crab 2753   {cpr 3982   ` cfv 5601  (class class class)co 6315  Vtxcvtx 39147  Edgcedga 39258   USGraph cusgr 39284   NeighbVtx cnbgr 39447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-hash 12548  df-upgr 39221  df-umgr 39222  df-edga 39259  df-usgr 39286  df-nbgr 39451
This theorem is referenced by:  usgrnbcnvfv  39489  nbusgredgeu  39490  edgnbusgreu  39491  nbusgrf1o0  39493  nb3grprlem1  39504  uvtxusgr  39525  iscusgredg  39541
  Copyright terms: Public domain W3C validator