MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgra Structured version   Unicode version

Theorem nbusgra 24406
Description: The set of neighbors of a vertex in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nbusgra  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Distinct variable groups:    n, V    n, E    n, N

Proof of Theorem nbusgra
StepHypRef Expression
1 usgrav 24316 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 nbgraop 24401 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  V
)  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32ex 434 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
54com12 31 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
6 df-nel 2641 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  <->  -.  N  e.  V )
7 nbgranv0 24405 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  (/) )
86, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
10 usgraedgrnv 24355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  /\  n  e.  V ) )
11 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  V  ->  -.  -.  N  e.  V
)
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  -.  N  e.  V )
1312intnand 916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  -.  (
n  e.  V  /\  -.  N  e.  V
) )
1514ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) ) )
1615con2d 115 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V )  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1716expcomd 438 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( -.  N  e.  V  ->  ( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1817impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1918ralrimiv 2855 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
20 rabeq0 3793 . . . . 5  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/)  <->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
2119, 20sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/) )
229, 21eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
2322ex 434 . 2  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
245, 23pm2.61i 164 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    e/ wnel 2639   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   {cpr 4016   <.cop 4020   class class class wbr 4437   ran crn 4990  (class class class)co 6281   USGrph cusg 24308   Neighbors cnbgra 24395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-hash 12388  df-usgra 24311  df-nbgra 24398
This theorem is referenced by:  nbgra0nb  24407  nbgraeledg  24408  nbgra0edg  24410  nbgrassvt  24411  nbgranself  24412  nb3graprlem1  24429  nbcusgra  24441  cusgrasizeindslem3  24453  uvtxnbgra  24471  uvtxnb  24475  frisusgranb  24975  vdusgravaledg  32311
  Copyright terms: Public domain W3C validator