MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgra Structured version   Unicode version

Theorem nbusgra 23344
Description: The set of neighbors of a vertex in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nbusgra  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Distinct variable groups:    n, V    n, E    n, N

Proof of Theorem nbusgra
StepHypRef Expression
1 usgrav 23275 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 nbgraop 23340 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  V
)  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32ex 434 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
54com12 31 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
6 df-nel 2614 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  <->  -.  N  e.  V )
7 nbgranv0 23343 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  (/) )
86, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
10 usgraedgrnv 23301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  /\  n  e.  V ) )
11 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  V  ->  -.  -.  N  e.  V
)
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  -.  N  e.  V )
1312intnand 907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  -.  (
n  e.  V  /\  -.  N  e.  V
) )
1514ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) ) )
1615con2d 115 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V )  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1716expcomd 438 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( -.  N  e.  V  ->  ( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1817impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1918ralrimiv 2803 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
20 rabeq0 3664 . . . . 5  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/)  <->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
2119, 20sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/) )
229, 21eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
2322ex 434 . 2  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
245, 23pm2.61i 164 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2612   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   (/)c0 3642   {cpr 3884   <.cop 3888   class class class wbr 4297   ran crn 4846  (class class class)co 6096   USGrph cusg 23269   Neighbors cnbgra 23334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-usgra 23271  df-nbgra 23337
This theorem is referenced by:  nbgra0nb  23345  nbgraeledg  23346  nbgra0edg  23348  nbgrassvt  23349  nbgranself  23350  nb3graprlem1  23364  nbcusgra  23376  cusgrasizeindslem3  23388  uvtxnbgra  23406  uvtxnb  30283  vdusgravaledg  30534  frisusgranb  30594
  Copyright terms: Public domain W3C validator