MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgra Structured version   Unicode version

Theorem nbusgra 24832
Description: The set of neighbors of a vertex in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nbusgra  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Distinct variable groups:    n, V    n, E    n, N

Proof of Theorem nbusgra
StepHypRef Expression
1 usgrav 24742 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 nbgraop 24827 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  V
)  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32ex 432 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
41, 3syl 17 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
54com12 29 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
6 df-nel 2601 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  <->  -.  N  e.  V )
7 nbgranv0 24831 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  (/) )
86, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
10 usgraedgrnv 24781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  /\  n  e.  V ) )
11 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  V  ->  -.  -.  N  e.  V
)
1211adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  -.  N  e.  V )
1312intnand 917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) )
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  -.  (
n  e.  V  /\  -.  N  e.  V
) )
1514ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) ) )
1615con2d 115 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V )  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1716expcomd 436 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( -.  N  e.  V  ->  ( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1817impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1918ralrimiv 2815 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
20 rabeq0 3760 . . . . 5  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/)  <->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
2119, 20sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/) )
229, 21eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
2322ex 432 . 2  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
245, 23pm2.61i 164 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   A.wral 2753   {crab 2757   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   {cpr 3973   <.cop 3977   class class class wbr 4394   ran crn 4823  (class class class)co 6277   USGrph cusg 24734   Neighbors cnbgra 24821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-hash 12451  df-usgra 24737  df-nbgra 24824
This theorem is referenced by:  nbgra0nb  24833  nbgraeledg  24834  nbgra0edg  24836  nbgrassvt  24837  nbgranself  24838  nb3graprlem1  24855  nbcusgra  24867  cusgrasizeindslem3  24879  uvtxnbgra  24897  uvtxnb  24901  frisusgranb  25401  vdusgravaledg  37967
  Copyright terms: Public domain W3C validator