Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgra Structured version   Unicode version

Theorem nbusgra 24832
 Description: The set of neighbors of a vertex in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nbusgra USGrph Neighbors
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem nbusgra
StepHypRef Expression
1 usgrav 24742 . . . 4 USGrph
2 nbgraop 24827 . . . . 5 Neighbors
32ex 432 . . . 4 Neighbors
41, 3syl 17 . . 3 USGrph Neighbors
54com12 29 . 2 USGrph Neighbors
6 df-nel 2601 . . . . . 6
7 nbgranv0 24831 . . . . . 6 Neighbors
86, 7sylbir 213 . . . . 5 Neighbors
98adantr 463 . . . 4 USGrph Neighbors
10 usgraedgrnv 24781 . . . . . . . . . . 11 USGrph
11 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . 13
1211adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
1312intnand 917 . . . . . . . . . . 11
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 USGrph
1514ex 432 . . . . . . . . 9 USGrph
1615con2d 115 . . . . . . . 8 USGrph
1716expcomd 436 . . . . . . 7 USGrph
1817impcom 428 . . . . . 6 USGrph
1918ralrimiv 2815 . . . . 5 USGrph
20 rabeq0 3760 . . . . 5
2119, 20sylibr 212 . . . 4 USGrph
229, 21eqtr4d 2446 . . 3 USGrph Neighbors
2322ex 432 . 2 USGrph Neighbors
245, 23pm2.61i 164 1 USGrph Neighbors
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wnel 2599  wral 2753  crab 2757  cvv 3058  c0 3737  cpr 3973  cop 3977   class class class wbr 4394   crn 4823  (class class class)co 6277   USGrph cusg 24734   Neighbors cnbgra 24821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-hash 12451  df-usgra 24737  df-nbgra 24824 This theorem is referenced by:  nbgra0nb  24833  nbgraeledg  24834  nbgra0edg  24836  nbgrassvt  24837  nbgranself  24838  nb3graprlem1  24855  nbcusgra  24867  cusgrasizeindslem3  24879  uvtxnbgra  24897  uvtxnb  24901  frisusgranb  25401  vdusgravaledg  37967
 Copyright terms: Public domain W3C validator