MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgra Structured version   Unicode version

Theorem nbusgra 24132
Description: The set of neighbors of a vertex in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nbusgra  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Distinct variable groups:    n, V    n, E    n, N

Proof of Theorem nbusgra
StepHypRef Expression
1 usgrav 24042 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 nbgraop 24127 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  V
)  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32ex 434 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
54com12 31 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
6 df-nel 2665 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  <->  -.  N  e.  V )
7 nbgranv0 24131 . . . . . 6  |-  ( N  e/  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  (/) )
86, 7sylbir 213 . . . . 5  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  (/) )
10 usgraedgrnv 24081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  V  /\  n  e.  V ) )
11 notnot1 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  V  ->  -.  -.  N  e.  V
)
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  -.  N  e.  V )
1312intnand 914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  V  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  n }  e.  ran  E )  ->  -.  (
n  e.  V  /\  -.  N  e.  V
) )
1514ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  ->  -.  ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V ) ) )
1615con2d 115 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( n  e.  V  /\  -.  N  e.  V )  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1716expcomd 438 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( -.  N  e.  V  ->  ( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1817impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( n  e.  V  ->  -.  { N ,  n }  e.  ran  E ) )
1918ralrimiv 2876 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
20 rabeq0 3807 . . . . 5  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/)  <->  A. n  e.  V  -.  { N ,  n }  e.  ran  E )
2119, 20sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  (/) )
229, 21eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( -.  N  e.  V  /\  V USGrph  E )  -> 
( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
2322ex 434 . 2  |-  ( -.  N  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  (
<. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } ) )
245, 23pm2.61i 164 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ran crn 5000  (class class class)co 6284   USGrph cusg 24034   Neighbors cnbgra 24121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037  df-nbgra 24124
This theorem is referenced by:  nbgra0nb  24133  nbgraeledg  24134  nbgra0edg  24136  nbgrassvt  24137  nbgranself  24138  nb3graprlem1  24155  nbcusgra  24167  cusgrasizeindslem3  24179  uvtxnbgra  24197  uvtxnb  24201  frisusgranb  24701  vdusgravaledg  31852
  Copyright terms: Public domain W3C validator