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Theorem nbumgrvtx 39578
Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgrel.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
nbgrel.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
nbumgrvtx  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  ( G NeighbVtx  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  E } )
Distinct variable groups:    n, G    n, N    n, V    n, E

Proof of Theorem nbumgrvtx
Dummy variables  e 
v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgrel.v . . . 4  |-  V  =  (Vtx `  G )
2 nbgrel.e . . . 4  |-  E  =  (Edg `  G )
31, 2nbgrval 39570 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( G NeighbVtx  N )  =  {
v  e.  ( V 
\  { N }
)  |  E. e  e.  E  { N ,  v }  C_  e } )
43adantl 473 . 2  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  ( G NeighbVtx  N )  =  {
v  e.  ( V 
\  { N }
)  |  E. e  e.  E  { N ,  v }  C_  e } )
5 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  ->  x  e.  V )
65adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  ->  x  e.  V )
76adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  ( e  e.  E  /\  { N ,  x }  C_  e ) )  ->  x  e.  V
)
8 umgrupgr 39348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e. UMGraph  ->  G  e. UPGraph  )
98ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  /\  { N ,  x }  C_  e )  ->  G  e. UPGraph  )
10 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  ->  e  e.  E )
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  /\  { N ,  x }  C_  e )  -> 
e  e.  E )
12 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  /\  { N ,  x }  C_  e )  ->  { N ,  x }  C_  e )
13 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  ->  N  e.  V )
15 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  ->  x  e.  _V )
17 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  N ) )
18 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  x  =/=  N )  ->  x  =/=  N )
1918necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  V  /\  x  =/=  N )  ->  N  =/=  x )
2017, 19sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  ->  N  =/=  x )
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  ->  N  =/=  x )
2214, 16, 213jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  -> 
( N  e.  V  /\  x  e.  _V  /\  N  =/=  x ) )
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  ->  ( N  e.  V  /\  x  e.  _V  /\  N  =/=  x ) )
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  /\  { N ,  x }  C_  e )  -> 
( N  e.  V  /\  x  e.  _V  /\  N  =/=  x ) )
251, 2upgredgpr 39393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. UPGraph  /\  e  e.  E  /\  { N ,  x }  C_  e
)  /\  ( N  e.  V  /\  x  e.  _V  /\  N  =/=  x ) )  ->  { N ,  x }  =  e )
269, 11, 12, 24, 25syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  /\  { N ,  x }  C_  e )  ->  { N ,  x }  =  e )
2726ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  ->  ( { N ,  x }  C_  e  ->  { N ,  x }  =  e ) )
28 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { N ,  x }  =  e  ->  ( { N ,  x }  e.  E  <->  e  e.  E
) )
2928biimprd 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( { N ,  x }  =  e  ->  ( e  e.  E  ->  { N ,  x }  e.  E
) )
3027, 10, 29syl6ci 66 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  e  e.  E )  ->  ( { N ,  x }  C_  e  ->  { N ,  x }  e.  E ) )
3130impr 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  ( e  e.  E  /\  { N ,  x }  C_  e ) )  ->  { N ,  x }  e.  E
)
327, 31jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  /\  ( e  e.  E  /\  { N ,  x }  C_  e ) )  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E
) )
3332rexlimdvaa 2872 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  x  e.  ( V  \  { N } ) )  -> 
( E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e  -> 
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E )
) )
3433expimpd 614 . . . . 5  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  ( V  \  { N } )  /\  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e )  ->  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) ) )
35 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  x  e.  V )
362umgredgne 39394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  { N ,  x }  e.  E
)  ->  N  =/=  x )
3736ad2ant2rl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  N  =/=  x )
3837necomd 2698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  x  =/=  N )
3935, 38, 17sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) )
40 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E )  ->  { N ,  x }  e.  E
)
4140adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  { N ,  x }  e.  E )
42 sseq2 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  { N ,  x }  ->  ( { N ,  x }  C_  e  <->  { N ,  x }  C_  { N ,  x } ) )
4342adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V
)  /\  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E
) )  /\  e  =  { N ,  x } )  ->  ( { N ,  x }  C_  e  <->  { N ,  x }  C_  { N ,  x } ) )
44 ssid 3437 . . . . . . . . 9  |-  { N ,  x }  C_  { N ,  x }
4544a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  { N ,  x }  C_ 
{ N ,  x } )
4641, 43, 45rspcedvd 3143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  ->  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e )
4739, 46jca 541 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  /\  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E ) )  -> 
( x  e.  ( V  \  { N } )  /\  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e ) )
4847ex 441 . . . . 5  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E )  ->  ( x  e.  ( V  \  { N } )  /\  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e ) ) )
4934, 48impbid 195 . . . 4  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  ( V  \  { N } )  /\  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e )  <->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E
) ) )
50 preq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  { N ,  v }  =  { N ,  x }
)
5150sseq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( { N ,  v } 
C_  e  <->  { N ,  x }  C_  e
) )
5251rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( v  =  x  ->  ( E. e  e.  E  { N ,  v } 
C_  e  <->  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e
) )
5352elrab 3184 . . . 4  |-  ( x  e.  { v  e.  ( V  \  { N } )  |  E. e  e.  E  { N ,  v }  C_  e }  <->  ( x  e.  ( V  \  { N } )  /\  E. e  e.  E  { N ,  x }  C_  e ) )
54 preq2 4043 . . . . . 6  |-  ( n  =  x  ->  { N ,  n }  =  { N ,  x }
)
5554eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( n  =  x  ->  ( { N ,  n }  e.  E  <->  { N ,  x }  e.  E )
)
5655elrab 3184 . . . 4  |-  ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  E } 
<->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  E )
)
5749, 53, 563bitr4g 296 . . 3  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  (
x  e.  { v  e.  ( V  \  { N } )  |  E. e  e.  E  { N ,  v } 
C_  e }  <->  x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  E } ) )
5857eqrdv 2469 . 2  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  { v  e.  ( V  \  { N } )  |  E. e  e.  E  { N ,  v } 
C_  e }  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  E }
)
594, 58eqtrd 2505 1  |-  ( ( G  e. UMGraph  /\  N  e.  V )  ->  ( G NeighbVtx  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  E } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  Vtxcvtx 39251   UPGraph cupgr 39326   UMGraph cumgr 39327  Edgcedga 39371   NeighbVtx cnbgr 39561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-upgr 39328  df-umgr 39329  df-edga 39372  df-nbgr 39565
This theorem is referenced by:  nbumgr  39579  nbusgrvtx  39580  umgr2v2enb1  39749
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