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Theorem nbgraf1olem5 23354
Description: Lemma 5 for nbgraf1o 23356. The mapping of neighbors to edge indices is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N
Allowed substitution hints:    F( i, n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem5
Dummy variables  j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . 4  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
2 nbgraf1o.i . . . 4  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
3 nbgraf1o.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
41, 2, 3nbgraf1olem2 23351 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N --> I )
5 ffn 5559 . . 3  |-  ( F : N --> I  ->  F  Fn  N )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F  Fn  N )
71, 2, 3nbgraf1olem3 23352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  n  e.  N )  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } )  =  ( `' E `  { U ,  n } ) )
873expa 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  =  ( `' E `  { U ,  n } ) )
98eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  <->  j  =  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
10 usgraf1o 23281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
13 nbgraeledg 23341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { n ,  U }  e.  ran  E ) )
14 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { n ,  U }  =  { U ,  n }
1514eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  n }  e.  ran  E )
1613, 15syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  n }  e.  ran  E ) )
1716biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) )
1817a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  ( U  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1918, 1eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  N  ->  ( U  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
2019com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  V  ->  ( n  e.  N  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
2120imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  { U ,  n }  e.  ran  E )
22 f1ocnvdm 5989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { U ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E )
2312, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E )
24 prid1g 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  n } )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  U  e.  { U ,  n } )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  U  e.  { U ,  n }
)
271eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  N  <->  n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
28 nbgracnvfv 23349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )  -> 
( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) )  =  { U ,  n } )
2927, 28sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  n  e.  N )  ->  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) )  =  { U ,  n } )
3029adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( E `  ( `' E `  { U ,  n }
) )  =  { U ,  n }
)
3126, 30eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
3223, 31jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) )
33 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E ) )
34 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  ( E `  j )  =  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
3534eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  ( U  e.  ( E `  j )  <->  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  <->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) ) )
3732, 36syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
) ) )
389, 37sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  ->  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) ) )
3938rexlimdva 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
) ) )
40 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  V USGrph  E )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  V USGrph  E )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
)  ->  j  e.  dom  E )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  j  e.  dom  E )
44 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  U  e.  ( E `  j
) )
45 usgraedg4 23305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) )  ->  E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }
)
4641, 43, 44, 45syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }
)
47 usgrafun 23277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
48 fvelrn 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  E  /\  j  e.  dom  E )  -> 
( E `  j
)  e.  ran  E
)
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
E  ->  ( j  e.  dom  E  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V USGrph  E  ->  ( j  e. 
dom  E  ->  ( E `
 j )  e. 
ran  E ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
j  e.  dom  E  ->  ( E `  j
)  e.  ran  E
) )
5251com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  dom  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { U ,  n }  =  ( E `  j )  ->  { U ,  n }  =  ( E `  j ) )
5756eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  { U ,  n }  =  ( E `  j ) )
5814, 57syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  { n ,  U }  =  ( E `  j ) )
5958eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <-> 
( E `  j
)  e.  ran  E
) )
6155, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  { n ,  U }  e.  ran  E )
6213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { n ,  U }  e.  ran  E ) )
6361, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  n  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  U
) )
6463, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  n  e.  N
)
65 f1ocnvfv1 5983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  j  e.  dom  E )  ->  ( `' E `  ( E `  j ) )  =  j )
6611, 42, 65syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( `' E `  ( E `
 j ) )  =  j )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j )
68 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { U ,  n }  =  ( E `  j )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  ( `' E `  ( E `  j ) ) )
6968eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  ( `' E `  ( E `  j ) ) )
7069eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j ) )
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j )
73 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  <->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  =  j )
74 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  V USGrph  E )
75 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  U  e.  V
)
767eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  n  e.  N )  ->  (
( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j ) )
7774, 75, 64, 76syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  =  j  <-> 
( `' E `  { U ,  n }
)  =  j ) )
7873, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } )  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j ) )
7972, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
8064, 79jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( n  e.  N  /\  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  (
( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } )  -> 
( n  e.  N  /\  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } ) ) ) )
8281reximdv2 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8346, 82mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
8483ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8539, 84impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  <->  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) ) )
8685abbidv 2557 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { j  |  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) } )
87 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
j  e.  dom  E  <->  i  e.  dom  E ) )
88 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  ( E `  j )  =  ( E `  i ) )
8988eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  ( U  e.  ( E `  j )  <->  U  e.  ( E `  i ) ) )
9087, 89anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  <->  ( i  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  i
) ) ) )
9190cbvabv 2562 . . . . 5  |-  { j  |  ( j  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i )
) }
9286, 91syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i ) ) } )
93 df-rab 2724 . . . 4  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i )
) }
9492, 93syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { i  e. 
dom  E  |  U  e.  ( E `  i
) } )
953rnmpt 5085 . . 3  |-  ran  F  =  { j  |  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
) }
9694, 95, 23eqtr4g 2500 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ran  F  =  I )
971, 2, 3nbgraf1olem4 23353 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  x  e.  N )  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
98973expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
9998adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
100 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  V USGrph  E )
101 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  U  e.  V )
102 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
1031, 2, 3nbgraf1olem4 23353 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  y )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  y )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) )
10599, 104eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) ) )
106 usgraf1 23282 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
107106ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E
)
1081eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  N  <->  x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
109 nbgraeledg 23341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { x ,  U }  e.  ran  E ) )
110 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x ,  U }  =  { U ,  x }
111110eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  x }  e.  ran  E )
112109, 111syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
113112biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
114108, 113syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  N  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
115114adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
x  e.  N  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
116115imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  { U ,  x }  e.  ran  E )
117116adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  { U ,  x }  e.  ran  E )
1181eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
119 nbgraeledg 23341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { y ,  U }  e.  ran  E ) )
120 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y ,  U }  =  { U ,  y }
121120eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  y }  e.  ran  E )
122119, 121syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
123122biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
124118, 123syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
125124adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
126125adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  ( y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
127126imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  { U ,  y }  e.  ran  E )
128 f1ocnvfvrneq 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( { U ,  x }  e.  ran  E  /\  { U ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  { U ,  x }  =  { U ,  y }
) )
129 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
130 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
131129, 130preqr2 4047 . . . . . . 7  |-  ( { U ,  x }  =  { U ,  y }  ->  x  =  y )
132128, 131syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( { U ,  x }  e.  ran  E  /\  { U ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  x  =  y ) )
133107, 117, 127, 132syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( `' E `  { U ,  x }
)  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  x  =  y ) )
134105, 133sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
135134ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
136135ralrimiva 2799 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
137 dff1o6 5982 . 2  |-  ( F : N -1-1-onto-> I  <->  ( F  Fn  N  /\  ran  F  =  I  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1386, 96, 136, 137syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   {cpr 3879   <.cop 3883   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   USGrph cusg 23264   Neighbors cnbgra 23329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104  df-usgra 23266  df-nbgra 23332
This theorem is referenced by:  nbgraf1o0  23355
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