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Theorem nbgraf1olem5 24647
Description: Lemma 5 for nbgraf1o 24649. The mapping of neighbors to edge indices is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N
Allowed substitution hints:    F( i, n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem5
Dummy variables  j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . 4  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
2 nbgraf1o.i . . . 4  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
3 nbgraf1o.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
41, 2, 3nbgraf1olem2 24644 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N --> I )
5 ffn 5713 . . 3  |-  ( F : N --> I  ->  F  Fn  N )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F  Fn  N )
71, 2, 3nbgraf1olem3 24645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  n  e.  N )  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } )  =  ( `' E `  { U ,  n } ) )
873expa 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  =  ( `' E `  { U ,  n } ) )
98eqeq2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  <->  j  =  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
10 usgraf1o 24560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
1211adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
13 nbgraeledg 24632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { n ,  U }  e.  ran  E ) )
14 prcom 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { n ,  U }  =  { U ,  n }
1514eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  n }  e.  ran  E )
1613, 15syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  n }  e.  ran  E ) )
1716biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) )
1817a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  ( U  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1918, 1eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  N  ->  ( U  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
2019com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  V  ->  ( n  e.  N  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
2120imp31 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  { U ,  n }  e.  ran  E )
22 f1ocnvdm 6163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { U ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E )
2312, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E )
24 prid1g 4122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  n } )
2524adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  U  e.  { U ,  n } )
2625adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  U  e.  { U ,  n }
)
271eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  N  <->  n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
28 nbgracnvfv 24642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )  -> 
( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) )  =  { U ,  n } )
2927, 28sylan2b 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  n  e.  N )  ->  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) )  =  { U ,  n } )
3029adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( E `  ( `' E `  { U ,  n }
) )  =  { U ,  n }
)
3126, 30eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
3223, 31jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) )
33 eleq1 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E ) )
34 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  ( E `  j )  =  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
3534eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  ( U  e.  ( E `  j )  <->  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) )
3633, 35anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  <->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) ) )
3732, 36syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
) ) )
389, 37sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  ->  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) ) )
3938rexlimdva 2946 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
) ) )
40 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  V USGrph  E )
4140adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  V USGrph  E )
42 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
)  ->  j  e.  dom  E )
4342adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  j  e.  dom  E )
44 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  U  e.  ( E `  j
) )
45 usgraedg4 24589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) )  ->  E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }
)
4641, 43, 44, 45syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }
)
47 usgrafun 24551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
48 fvelrn 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  E  /\  j  e.  dom  E )  -> 
( E `  j
)  e.  ran  E
)
4948ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
E  ->  ( j  e.  dom  E  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V USGrph  E  ->  ( j  e. 
dom  E  ->  ( E `
 j )  e. 
ran  E ) )
5150adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
j  e.  dom  E  ->  ( E `  j
)  e.  ran  E
) )
5251com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  dom  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5453impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E )
5554adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { U ,  n }  =  ( E `  j )  ->  { U ,  n }  =  ( E `  j ) )
5756eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  { U ,  n }  =  ( E `  j ) )
5814, 57syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  { n ,  U }  =  ( E `  j ) )
5958eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
6059ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <-> 
( E `  j
)  e.  ran  E
) )
6155, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  { n ,  U }  e.  ran  E )
6213ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { n ,  U }  e.  ran  E ) )
6361, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  n  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  U
) )
6463, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  n  e.  N
)
65 f1ocnvfv1 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  j  e.  dom  E )  ->  ( `' E `  ( E `  j ) )  =  j )
6611, 42, 65syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( `' E `  ( E `
 j ) )  =  j )
6766adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j )
68 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { U ,  n }  =  ( E `  j )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  ( `' E `  ( E `  j ) ) )
6968eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  ( `' E `  ( E `  j ) ) )
7069eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j ) )
7170ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j )
73 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  <->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  =  j )
74 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  V USGrph  E )
75 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  U  e.  V
)
767eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  n  e.  N )  ->  (
( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j ) )
7774, 75, 64, 76syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  =  j  <-> 
( `' E `  { U ,  n }
)  =  j ) )
7873, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } )  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j ) )
7972, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
8064, 79jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( n  e.  N  /\  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8180ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  (
( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } )  -> 
( n  e.  N  /\  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } ) ) ) )
8281reximdv2 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8346, 82mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
8483ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8539, 84impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  <->  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) ) )
8685abbidv 2590 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { j  |  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) } )
87 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
j  e.  dom  E  <->  i  e.  dom  E ) )
88 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  ( E `  j )  =  ( E `  i ) )
8988eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  ( U  e.  ( E `  j )  <->  U  e.  ( E `  i ) ) )
9087, 89anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  <->  ( i  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  i
) ) ) )
9190cbvabv 2597 . . . . 5  |-  { j  |  ( j  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i )
) }
9286, 91syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i ) ) } )
93 df-rab 2813 . . . 4  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i )
) }
9492, 93syl6eqr 2513 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { i  e. 
dom  E  |  U  e.  ( E `  i
) } )
953rnmpt 5237 . . 3  |-  ran  F  =  { j  |  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
) }
9694, 95, 23eqtr4g 2520 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ran  F  =  I )
971, 2, 3nbgraf1olem4 24646 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  x  e.  N )  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
98973expa 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
9998adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
100 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  V USGrph  E )
101 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  U  e.  V )
102 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
1031, 2, 3nbgraf1olem4 24646 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  y )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  y )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) )
10599, 104eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) ) )
106 usgraf1 24562 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
107106ad3antrrr 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E
)
1081eleq2i 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  N  <->  x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
109 nbgraeledg 24632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { x ,  U }  e.  ran  E ) )
110 prcom 4094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x ,  U }  =  { U ,  x }
111110eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  x }  e.  ran  E )
112109, 111syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
113112biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
114108, 113syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  N  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
115114adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
x  e.  N  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
116115imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  { U ,  x }  e.  ran  E )
117116adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  { U ,  x }  e.  ran  E )
1181eleq2i 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
119 nbgraeledg 24632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { y ,  U }  e.  ran  E ) )
120 prcom 4094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y ,  U }  =  { U ,  y }
121120eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  y }  e.  ran  E )
122119, 121syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
123122biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
124118, 123syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
125124adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
126125adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  ( y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
127126imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  { U ,  y }  e.  ran  E )
128 f1ocnvfvrneq 6164 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( { U ,  x }  e.  ran  E  /\  { U ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  { U ,  x }  =  { U ,  y }
) )
129 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
130 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
131129, 130preqr2 4191 . . . . . . 7  |-  ( { U ,  x }  =  { U ,  y }  ->  x  =  y )
132128, 131syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( { U ,  x }  e.  ran  E  /\  { U ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  x  =  y ) )
133107, 117, 127, 132syl12anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( `' E `  { U ,  x }
)  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  x  =  y ) )
134105, 133sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
135134ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
136135ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
137 dff1o6 6156 . 2  |-  ( F : N -1-1-onto-> I  <->  ( F  Fn  N  /\  ran  F  =  I  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1386, 96, 136, 137syl3anbrc 1178 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   USGrph cusg 24532   Neighbors cnbgra 24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388  df-usgra 24535  df-nbgra 24622
This theorem is referenced by:  nbgraf1o0  24648
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