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Theorem nbgraf1olem5 24421
Description: Lemma 5 for nbgraf1o 24423. The mapping of neighbors to edge indices is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N
Allowed substitution hints:    F( i, n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem5
Dummy variables  j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . 4  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
2 nbgraf1o.i . . . 4  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
3 nbgraf1o.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
41, 2, 3nbgraf1olem2 24418 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N --> I )
5 ffn 5721 . . 3  |-  ( F : N --> I  ->  F  Fn  N )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F  Fn  N )
71, 2, 3nbgraf1olem3 24419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  n  e.  N )  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } )  =  ( `' E `  { U ,  n } ) )
873expa 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  =  ( `' E `  { U ,  n } ) )
98eqeq2d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  <->  j  =  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
10 usgraf1o 24334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
13 nbgraeledg 24406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { n ,  U }  e.  ran  E ) )
14 prcom 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { n ,  U }  =  { U ,  n }
1514eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  n }  e.  ran  E )
1613, 15syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  n }  e.  ran  E ) )
1716biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) )
1817a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  ( U  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
1918, 1eleq2s 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  N  ->  ( U  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
2019com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( U  e.  V  ->  ( n  e.  N  ->  { U ,  n }  e.  ran  E ) ) )
2120imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  { U ,  n }  e.  ran  E )
22 f1ocnvdm 6173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { U ,  n }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E )
2312, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E )
24 prid1g 4121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  n } )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  U  e.  { U ,  n } )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  U  e.  { U ,  n }
)
271eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  N  <->  n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
28 nbgracnvfv 24416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )  -> 
( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) )  =  { U ,  n } )
2927, 28sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  n  e.  N )  ->  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) )  =  { U ,  n } )
3029adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( E `  ( `' E `  { U ,  n }
) )  =  { U ,  n }
)
3126, 30eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
3223, 31jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) )
33 eleq1 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E ) )
34 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  ( E `  j )  =  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) )
3534eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  ( U  e.  ( E `  j )  <->  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  <->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  ( `' E `  { U ,  n } ) ) ) ) )
3732, 36syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( `' E `  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
) ) )
389, 37sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  n  e.  N
)  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  ->  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) ) )
3938rexlimdva 2935 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  ->  (
j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
) ) )
40 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  V USGrph  E )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  V USGrph  E )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
)  ->  j  e.  dom  E )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  j  e.  dom  E )
44 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  U  e.  ( E `  j
) )
45 usgraedg4 24363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) )  ->  E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }
)
4641, 43, 44, 45syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }
)
47 usgrafun 24325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
48 fvelrn 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  E  /\  j  e.  dom  E )  -> 
( E `  j
)  e.  ran  E
)
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
E  ->  ( j  e.  dom  E  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V USGrph  E  ->  ( j  e. 
dom  E  ->  ( E `
 j )  e. 
ran  E ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
j  e.  dom  E  ->  ( E `  j
)  e.  ran  E
) )
5251com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  dom  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j )
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( E `  j )  e.  ran  E )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { U ,  n }  =  ( E `  j )  ->  { U ,  n }  =  ( E `  j ) )
5756eqcoms 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  { U ,  n }  =  ( E `  j ) )
5814, 57syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  { n ,  U }  =  ( E `  j ) )
5958eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <->  ( E `  j )  e.  ran  E ) )
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( { n ,  U }  e.  ran  E  <-> 
( E `  j
)  e.  ran  E
) )
6155, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  { n ,  U }  e.  ran  E )
6213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( n  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { n ,  U }  e.  ran  E ) )
6361, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  n  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  U
) )
6463, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  n  e.  N
)
65 f1ocnvfv1 6167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  j  e.  dom  E )  ->  ( `' E `  ( E `  j ) )  =  j )
6611, 42, 65syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( `' E `  ( E `
 j ) )  =  j )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j )
68 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { U ,  n }  =  ( E `  j )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  ( `' E `  ( E `  j ) ) )
6968eqcoms 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  ( `' E `  ( E `  j ) ) )
7069eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j ) )
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  ( E `  j
) )  =  j ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j )
73 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  <->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
)  =  j )
74 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  V USGrph  E )
75 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  U  e.  V
)
767eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  n  e.  N )  ->  (
( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } )  =  j  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j ) )
7774, 75, 64, 76syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  =  j  <-> 
( `' E `  { U ,  n }
)  =  j ) )
7873, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } )  <->  ( `' E `  { U ,  n } )  =  j ) )
7972, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
8064, 79jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) )  /\  ( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } ) )  ->  ( n  e.  N  /\  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  (
( n  e.  V  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  n } )  -> 
( n  e.  N  /\  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } ) ) ) )
8281reximdv2 2914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  ( E. n  e.  V  ( E `  j )  =  { U ,  n }  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8346, 82mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) )  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
8483ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  ->  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) ) )
8539, 84impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  n } )  <->  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) ) )
8685abbidv 2579 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { j  |  ( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) ) } )
87 eleq1 2515 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
j  e.  dom  E  <->  i  e.  dom  E ) )
88 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  ( E `  j )  =  ( E `  i ) )
8988eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  ( U  e.  ( E `  j )  <->  U  e.  ( E `  i ) ) )
9087, 89anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
( j  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  j ) )  <->  ( i  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  i
) ) ) )
9190cbvabv 2586 . . . . 5  |-  { j  |  ( j  e. 
dom  E  /\  U  e.  ( E `  j
) ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i )
) }
9286, 91syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i ) ) } )
93 df-rab 2802 . . . 4  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  =  { i  |  ( i  e.  dom  E  /\  U  e.  ( E `  i )
) }
9492, 93syl6eqr 2502 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  { j  |  E. n  e.  N  j  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) }  =  { i  e. 
dom  E  |  U  e.  ( E `  i
) } )
953rnmpt 5238 . . 3  |-  ran  F  =  { j  |  E. n  e.  N  j  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n }
) }
9694, 95, 23eqtr4g 2509 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ran  F  =  I )
971, 2, 3nbgraf1olem4 24420 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  x  e.  N )  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
98973expa 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
9998adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  x )  =  ( `' E `  { U ,  x } ) )
100 simplll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  V USGrph  E )
101 simpllr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  U  e.  V )
102 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
1031, 2, 3nbgraf1olem4 24420 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  y )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  ( F `  y )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) )
10599, 104eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } ) ) )
106 usgraf1 24336 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
107106ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E
)
1081eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  N  <->  x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
109 nbgraeledg 24406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { x ,  U }  e.  ran  E ) )
110 prcom 4093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x ,  U }  =  { U ,  x }
111110eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  x }  e.  ran  E )
112109, 111syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
113112biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
114108, 113syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  N  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
115114adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
x  e.  N  ->  { U ,  x }  e.  ran  E ) )
116115imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  { U ,  x }  e.  ran  E )
117116adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  { U ,  x }  e.  ran  E )
1181eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  N  <->  y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
119 nbgraeledg 24406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { y ,  U }  e.  ran  E ) )
120 prcom 4093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y ,  U }  =  { U ,  y }
121120eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y ,  U }  e.  ran  E  <->  { U ,  y }  e.  ran  E )
122119, 121syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
123122biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
124118, 123syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
125124adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
126125adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  ( y  e.  N  ->  { U ,  y }  e.  ran  E ) )
127126imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  { U ,  y }  e.  ran  E )
128 f1ocnvfvrneq 6174 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( { U ,  x }  e.  ran  E  /\  { U ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  { U ,  x }  =  { U ,  y }
) )
129 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
130 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
131129, 130preqr2 4190 . . . . . . 7  |-  ( { U ,  x }  =  { U ,  y }  ->  x  =  y )
132128, 131syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( { U ,  x }  e.  ran  E  /\  { U ,  y }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { U ,  x } )  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  x  =  y ) )
133107, 117, 127, 132syl12anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( `' E `  { U ,  x }
)  =  ( `' E `  { U ,  y } )  ->  x  =  y ) )
134105, 133sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V
)  /\  x  e.  N )  /\  y  e.  N )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
135134ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  x  e.  N
)  ->  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
136135ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
137 dff1o6 6166 . 2  |-  ( F : N -1-1-onto-> I  <->  ( F  Fn  N  /\  ran  F  =  I  /\  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1386, 96, 136, 137syl3anbrc 1181 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  F : N -1-1-onto-> I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   {cpr 4016   <.cop 4020   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578   iota_crio 6241  (class class class)co 6281   USGrph cusg 24306   Neighbors cnbgra 24393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-hash 12387  df-usgra 24309  df-nbgra 24396
This theorem is referenced by:  nbgraf1o0  24422
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