MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraf1olem4 Structured version   Unicode version

Theorem nbgraf1olem4 23375
Description: Lemma 4 for nbgraf1o 23378. The mapping of neighbors to edge indices applied on a neighbor is the function value of the converse applied on the edge between the vertex and this neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  M  e.  N )  ->  ( F `  M )  =  ( `' E `  { U ,  M } ) )
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N    i, M, n
Allowed substitution hints:    F( i, n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem4
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  M  e.  N )  ->  M  e.  N )
2 riotaex 6077 . . 3  |-  ( iota_ i  e.  I  ( E `
 i )  =  { U ,  M } )  e.  _V
3 preq2 3976 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  { U ,  n }  =  { U ,  M }
)
43eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  n }  <->  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
54riotabidv 6075 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  n } )  =  (
iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  M } ) )
6 nbgraf1o.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
75, 6fvmptg 5793 . . 3  |-  ( ( M  e.  N  /\  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  M } )  e. 
_V )  ->  ( F `  M )  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
81, 2, 7sylancl 662 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  M  e.  N )  ->  ( F `  M )  =  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
9 nbgraf1o.n . . 3  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
10 nbgraf1o.i . . 3  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
119, 10, 6nbgraf1olem3 23374 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  M  e.  N )  ->  ( iota_ i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M } )  =  ( `' E `  { U ,  M } ) )
128, 11eqtrd 2475 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V  /\  M  e.  N )  ->  ( F `  M )  =  ( `' E `  { U ,  M } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740   _Vcvv 2993   {cpr 3900   <.cop 3904   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ` cfv 5439   iota_crio 6072  (class class class)co 6112   USGrph cusg 23286   Neighbors cnbgra 23351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-hash 12125  df-usgra 23288  df-nbgra 23354
This theorem is referenced by:  nbgraf1olem5  23376
  Copyright terms: Public domain W3C validator