Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraf1olem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nbgraf1olem3 25164
 Description: Lemma 3 for nbgraf1o 25168. The restricted iota of an edge is the function value of the converse applied to the edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n Neighbors
nbgraf1o.i
nbgraf1o.f
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem3 USGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem nbgraf1olem3
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . . 5 Neighbors
21eleq2i 2520 . . . 4 Neighbors
3 nbgracnvfv 25161 . . . 4 USGrph Neighbors
42, 3sylan2b 478 . . 3 USGrph
6 usgraf1o 25078 . . . . . . 7 USGrph
763ad2ant1 1028 . . . . . 6 USGrph
8 nbgraeledg 25151 . . . . . . . . . . . 12 USGrph Neighbors
9 prcom 4049 . . . . . . . . . . . . 13
109eleq1i 2519 . . . . . . . . . . . 12
118, 10syl6bb 265 . . . . . . . . . . 11 USGrph Neighbors
1211biimpcd 228 . . . . . . . . . 10 Neighbors USGrph
1312a1d 26 . . . . . . . . 9 Neighbors USGrph
1413, 1eleq2s 2546 . . . . . . . 8 USGrph
1514com13 83 . . . . . . 7 USGrph
16153imp 1201 . . . . . 6 USGrph
17 f1ocnvdm 6181 . . . . . 6
187, 16, 17syl2anc 666 . . . . 5 USGrph
19 prid1g 4077 . . . . . . . 8
20 eleq2 2517 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ibrcom 226 . . . . . . 7
22213ad2ant2 1029 . . . . . 6 USGrph
235, 22mpd 15 . . . . 5 USGrph
24 fveq2 5863 . . . . . . 7
2524eleq2d 2513 . . . . . 6
2625elrab 3195 . . . . 5
2718, 23, 26sylanbrc 669 . . . 4 USGrph
28 nbgraf1o.i . . . 4
2927, 28syl6eleqr 2539 . . 3 USGrph
30 nbgraf1o.f . . . . 5
311, 28, 30nbgraf1olem1 25162 . . . 4 USGrph
32313impa 1202 . . 3 USGrph
3324eqeq1d 2452 . . . 4
3433riota2 6272 . . 3
3529, 32, 34syl2anc 666 . 2 USGrph
365, 35mpbid 214 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wreu 2738  crab 2740  cpr 3969  cop 3973   class class class wbr 4401   cmpt 4460  ccnv 4832   cdm 4833   crn 4834  wf1o 5580  cfv 5581  crio 6249  (class class class)co 6288   USGrph cusg 25050   Neighbors cnbgra 25138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053  df-nbgra 25141 This theorem is referenced by:  nbgraf1olem4  25165  nbgraf1olem5  25166
 Copyright terms: Public domain W3C validator