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Theorem nbgraf1olem1 25111
Description: Lemma 1 for nbgraf1o 25117. For each neighbor of a vertex there is exactly one index for the edge between the vertex and its neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N    i, M
Allowed substitution hints:    F( i, n)    M( n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . . . 6  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
21eleq2i 2498 . . . . 5  |-  ( M  e.  N  <->  M  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
3 usgrav 25007 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
43adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
5 nbgrael 25096 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( M  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  U
)  <->  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <-> 
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
72, 6syl5bb 260 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  N  <->  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
8 usgrafun 25018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
9 elrnrexdm 5985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
E  ->  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1110com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
12113ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  -> 
( V USGrph  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1312com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1413adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1514imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
16 eqcom 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
1716rexbii 2866 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  dom  E
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
1815, 17sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E ( E `
 i )  =  { U ,  M } )
19 prid1g 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  M } )
20 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  ->  ( U  e.  ( E `  i )  <->  U  e.  { U ,  M }
) )
2119, 20syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  V  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  ->  U  e.  ( E `  i
) ) )
2221pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  ( U  e.  ( E `  i
)  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) ) )
2322bicomd 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  (
( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)  <->  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
2423rexbidv 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  ( E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)  <->  E. i  e.  dom  E ( E `  i
)  =  { U ,  M } ) )
2524ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `
 i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M } )  <->  E. i  e.  dom  E ( E `
 i )  =  { U ,  M } ) )
2618, 25mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M } ) )
27 fveq2 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  ( E `  x )  =  ( E `  i ) )
2827eleq2d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  ( E `  i ) ) )
2928rexrab 3177 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  ( E `
 i )  =  { U ,  M } 
<->  E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
3026, 29sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
31 nbgraf1o.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
32 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  x  ->  ( E `  i )  =  ( E `  x ) )
3332eleq2d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  x  ->  ( U  e.  ( E `  i )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
3433cbvrabv 3021 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  =  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }
3531, 34eqtri 2450 . . . . . . . 8  |-  I  =  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }
3635rexeqi 2969 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  E. i  e.  {
x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
3730, 36sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
38 usgraf1o 25027 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
39 dff1o6 6133 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  =  ran  E  /\  A. i  e. 
dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
40 ssrab2 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  C_  dom  E
4131, 40eqsstri 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  C_  dom  E
42 ssralv 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I 
C_  dom  E  ->  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
44 ssralv 3468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I 
C_  dom  E  ->  ( A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  I  ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
4541, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. j  e.  I 
( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
4645ralimi 2758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
47 eqtr3 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
4847imim1i 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
4948ralimi 2758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  I  (
( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5049ralimi 2758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5143, 46, 503syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
52513ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  =  ran  E  /\  A. i  e. 
dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5339, 52sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5438, 53syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5554adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
5655adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
5737, 56jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) ) )
5857ex 435 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) ) ) )
597, 58sylbid 218 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  N  ->  ( E. i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  M } )  -> 
i  =  j ) ) ) )
6059imp 430 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) ) )
61 fveq2 5825 . . . 4  |-  ( i  =  j  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
6261eqeq1d 2430 . . 3  |-  ( i  =  j  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  ( E `  j )  =  { U ,  M }
) )
6362reu4 3207 . 2  |-  ( E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) ) )
6460, 63sylibr 215 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   E!wreu 2716   {crab 2718   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   {cpr 3943   <.cop 3947   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   ran crn 4797   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544   iota_crio 6210  (class class class)co 6249   USGrph cusg 24999   Neighbors cnbgra 25087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-hash 12466  df-usgra 25002  df-nbgra 25090
This theorem is referenced by:  nbgraf1olem2  25112  nbgraf1olem3  25113
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