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Theorem nbgraf1olem1 21404
Description: Lemma 1 for nbgraf1o 21410. For each neighbor of a vertex there is exacly one index for the edge between the vertex and its neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N    i, M
Allowed substitution hints:    F( i, n)    M( n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . . . 6  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
21eleq2i 2468 . . . . 5  |-  ( M  e.  N  <->  M  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
3 usgrav 21324 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
5 nbgrael 21391 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( M  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  U
)  <->  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <-> 
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
72, 6syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  N  <->  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
8 usgrafun 21331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
9 elrnrexdm 5833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
E  ->  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1110com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
12113ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  -> 
( V USGrph  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1312com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1413adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1514imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
16 eqcom 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
1716rexbii 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  dom  E
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E ( E `
 i )  =  { U ,  M } )
19 prid1g 3870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  M } )
20 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  ->  ( U  e.  ( E `  i )  <->  U  e.  { U ,  M }
) )
2119, 20syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  V  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  ->  U  e.  ( E `  i
) ) )
2221pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  ( U  e.  ( E `  i
)  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) ) )
2322bicomd 193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  (
( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)  <->  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
2423rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  ( E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)  <->  E. i  e.  dom  E ( E `  i
)  =  { U ,  M } ) )
2524ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `
 i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M } )  <->  E. i  e.  dom  E ( E `
 i )  =  { U ,  M } ) )
2618, 25mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M } ) )
27 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  ( E `  x )  =  ( E `  i ) )
2827eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  ( E `  i ) ) )
2928rexrab 3058 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  ( E `
 i )  =  { U ,  M } 
<->  E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
3026, 29sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
31 nbgraf1o.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
32 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  x  ->  ( E `  i )  =  ( E `  x ) )
3332eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  x  ->  ( U  e.  ( E `  i )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
3433cbvrabv 2915 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  =  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }
3531, 34eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  I  =  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }
3635rexeqi 2869 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  E. i  e.  {
x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
3730, 36sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
38 usgraf1o 21335 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
39 dff1o6 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  =  ran  E  /\  A. i  e. 
dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
40 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  C_  dom  E
4131, 40eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  C_  dom  E
42 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I 
C_  dom  E  ->  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
44 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I 
C_  dom  E  ->  ( A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  I  ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
4541, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. j  e.  I 
( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
4645ralimi 2741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
47 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
4847imim1i 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
4948ralimi 2741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  I  (
( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5049ralimi 2741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5143, 46, 503syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
52513ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  =  ran  E  /\  A. i  e. 
dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5339, 52sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5438, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5554adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
5655adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
5737, 56jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) ) )
5857ex 424 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) ) ) )
597, 58sylbid 207 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  N  ->  ( E. i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  M } )  -> 
i  =  j ) ) ) )
6059imp 419 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) ) )
61 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( i  =  j  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
6261eqeq1d 2412 . . 3  |-  ( i  =  j  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  ( E `  j )  =  { U ,  M }
) )
6362reu4 3088 . 2  |-  ( E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) ) )
6460, 63sylibr 204 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   USGrph cusg 21318   Neighbors cnbgra 21383
This theorem is referenced by:  nbgraf1olem2  21405  nbgraf1olem3  21406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-usgra 21320  df-nbgra 21386
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