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Theorem nbgraf1olem1 24568
Description: Lemma 1 for nbgraf1o 24574. For each neighbor of a vertex there is exactly one index for the edge between the vertex and its neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
nbgraf1o.i  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
nbgraf1o.f  |-  F  =  ( n  e.  N  |->  ( iota_ i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  n } ) )
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
Distinct variable groups:    i, E, n    U, i, n    i, V, n    i, I, n   
n, N    i, M
Allowed substitution hints:    F( i, n)    M( n)    N( i)

Proof of Theorem nbgraf1olem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . . . 6  |-  N  =  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )
21eleq2i 2535 . . . . 5  |-  ( M  e.  N  <->  M  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U ) )
3 usgrav 24465 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
5 nbgrael 24553 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( M  e.  (
<. V ,  E >. Neighbors  U
)  <->  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  U )  <-> 
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
72, 6syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  N  <->  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) ) )
8 usgrafun 24476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
9 elrnrexdm 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
E  ->  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1110com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { U ,  M }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
12113ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  -> 
( V USGrph  E  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1312com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
16 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
1716rexbii 2959 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  dom  E
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  E. i  e.  dom  E { U ,  M }  =  ( E `  i ) )
1815, 17sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E ( E `
 i )  =  { U ,  M } )
19 prid1g 4138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  V  ->  U  e.  { U ,  M } )
20 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  ->  ( U  e.  ( E `  i )  <->  U  e.  { U ,  M }
) )
2119, 20syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  V  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  ->  U  e.  ( E `  i
) ) )
2221pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  V  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  ( U  e.  ( E `  i
)  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) ) )
2322bicomd 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  (
( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)  <->  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
2423rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  ( E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)  <->  E. i  e.  dom  E ( E `  i
)  =  { U ,  M } ) )
2524ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `
 i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M } )  <->  E. i  e.  dom  E ( E `
 i )  =  { U ,  M } ) )
2618, 25mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M } ) )
27 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  ( E `  x )  =  ( E `  i ) )
2827eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  ( U  e.  ( E `  x )  <->  U  e.  ( E `  i ) ) )
2928rexrab 3263 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x
) }  ( E `
 i )  =  { U ,  M } 
<->  E. i  e.  dom  E ( U  e.  ( E `  i )  /\  ( E `  i )  =  { U ,  M }
) )
3026, 29sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
31 nbgraf1o.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }
32 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  x  ->  ( E `  i )  =  ( E `  x ) )
3332eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  x  ->  ( U  e.  ( E `  i )  <->  U  e.  ( E `  x ) ) )
3433cbvrabv 3108 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  =  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }
3531, 34eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  I  =  { x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }
3635rexeqi 3059 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  E. i  e.  {
x  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  x ) }  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
3730, 36sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
38 usgraf1o 24485 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
39 dff1o6 6182 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  =  ran  E  /\  A. i  e. 
dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
40 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { i  e.  dom  E  |  U  e.  ( E `  i ) }  C_  dom  E
4131, 40eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  C_  dom  E
42 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I 
C_  dom  E  ->  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
44 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I 
C_  dom  E  ->  ( A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  I  ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) ) )
4541, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. j  e.  I 
( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
4645ralimi 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )
47 eqtr3 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
4847imim1i 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
4948ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  I  (
( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5049ralimi 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5143, 46, 503syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i
)  =  ( E `
 j )  -> 
i  =  j )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
52513ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  =  ran  E  /\  A. i  e. 
dom  E A. j  e.  dom  E ( ( E `  i )  =  ( E `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5339, 52sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5438, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) )
5737, 56jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  ( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) ) )
5857ex 434 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  (
( U  e.  V  /\  M  e.  V  /\  { U ,  M }  e.  ran  E )  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) ) ) )
597, 58sylbid 215 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  ->  ( M  e.  N  ->  ( E. i  e.  I 
( E `  i
)  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j
)  =  { U ,  M } )  -> 
i  =  j ) ) ) )
6059imp 429 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M } )  ->  i  =  j ) ) )
61 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( i  =  j  ->  ( E `  i )  =  ( E `  j ) )
6261eqeq1d 2459 . . 3  |-  ( i  =  j  ->  (
( E `  i
)  =  { U ,  M }  <->  ( E `  j )  =  { U ,  M }
) )
6362reu4 3293 . 2  |-  ( E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  <->  ( E. i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I 
( ( ( E `
 i )  =  { U ,  M }  /\  ( E `  j )  =  { U ,  M }
)  ->  i  =  j ) ) )
6460, 63sylibr 212 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  U  e.  V )  /\  M  e.  N
)  ->  E! i  e.  I  ( E `  i )  =  { U ,  M }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   USGrph cusg 24457   Neighbors cnbgra 24544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24460  df-nbgra 24547
This theorem is referenced by:  nbgraf1olem2  24569  nbgraf1olem3  24570
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