Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraf1olem1 Structured version   Unicode version

Theorem nbgraf1olem1 25111
 Description: Lemma 1 for nbgraf1o 25117. For each neighbor of a vertex there is exactly one index for the edge between the vertex and its neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n Neighbors
nbgraf1o.i
nbgraf1o.f
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem1 USGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem nbgraf1olem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . . . 6 Neighbors
21eleq2i 2498 . . . . 5 Neighbors
3 usgrav 25007 . . . . . . 7 USGrph
43adantr 466 . . . . . 6 USGrph
5 nbgrael 25096 . . . . . 6 Neighbors
64, 5syl 17 . . . . 5 USGrph Neighbors
72, 6syl5bb 260 . . . 4 USGrph
8 usgrafun 25018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
9 elrnrexdm 5985 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
1110com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
12113ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
1312com12 32 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
1413adantr 466 . . . . . . . . . . 11 USGrph
1514imp 430 . . . . . . . . . 10 USGrph
16 eqcom 2435 . . . . . . . . . . 11
1716rexbii 2866 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylibr 215 . . . . . . . . 9 USGrph
19 prid1g 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
20 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . 13
2221pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . 12
2322bicomd 204 . . . . . . . . . . 11
2423rexbidv 2878 . . . . . . . . . 10
2524ad2antlr 731 . . . . . . . . 9 USGrph
2618, 25mpbird 235 . . . . . . . 8 USGrph
27 fveq2 5825 . . . . . . . . . 10
2827eleq2d 2491 . . . . . . . . 9
2928rexrab 3177 . . . . . . . 8
3026, 29sylibr 215 . . . . . . 7 USGrph
31 nbgraf1o.i . . . . . . . . 9
32 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11
3332eleq2d 2491 . . . . . . . . . 10
3433cbvrabv 3021 . . . . . . . . 9
3531, 34eqtri 2450 . . . . . . . 8
3635rexeqi 2969 . . . . . . 7
3730, 36sylibr 215 . . . . . 6 USGrph
38 usgraf1o 25027 . . . . . . . . 9 USGrph
39 dff1o6 6133 . . . . . . . . . 10
40 ssrab2 3489 . . . . . . . . . . . . . 14
4131, 40eqsstri 3437 . . . . . . . . . . . . 13
42 ssralv 3468 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
44 ssralv 3468 . . . . . . . . . . . . . 14
4541, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
4645ralimi 2758 . . . . . . . . . . . 12
47 eqtr3 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847imim1i 60 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ralimi 2758 . . . . . . . . . . . . 13
5049ralimi 2758 . . . . . . . . . . . 12
5143, 46, 503syl 18 . . . . . . . . . . 11
52513ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10
5339, 52sylbi 198 . . . . . . . . 9
5438, 53syl 17 . . . . . . . 8 USGrph
5554adantr 466 . . . . . . 7 USGrph
5655adantr 466 . . . . . 6 USGrph
5737, 56jca 534 . . . . 5 USGrph
5857ex 435 . . . 4 USGrph
597, 58sylbid 218 . . 3 USGrph
6059imp 430 . 2 USGrph
61 fveq2 5825 . . . 4
6261eqeq1d 2430 . . 3
6362reu4 3207 . 2
6460, 63sylibr 215 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  wrex 2715  wreu 2716  crab 2718  cvv 3022   wss 3379  cpr 3943  cop 3947   class class class wbr 4366   cmpt 4425   cdm 4796   crn 4797   wfun 5538   wfn 5539  wf1o 5543  cfv 5544  crio 6210  (class class class)co 6249   USGrph cusg 24999   Neighbors cnbgra 25087 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-hash 12466  df-usgra 25002  df-nbgra 25090 This theorem is referenced by:  nbgraf1olem2  25112  nbgraf1olem3  25113
 Copyright terms: Public domain W3C validator