MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraeledg Structured version   Unicode version

Theorem nbgraeledg 23478
Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex if and only if it is an endpoint of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgraeledg  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem nbgraeledg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 23476 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  =  {
n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } )
21eleq2d 2521 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } ) )
3 usgraedgrnv 23433 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  N  e.  V )
54ex 434 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  ->  N  e.  V
) )
65pm4.71rd 635 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  <-> 
( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
7 prcom 4053 . . . . 5  |-  { N ,  K }  =  { K ,  N }
87a1i 11 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  { N ,  K }  =  { K ,  N }
)
98eleq1d 2520 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  K }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
10 preq2 4055 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { K ,  n }  =  { K ,  N }
)
1110eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( { K ,  n }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3216 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
146, 9, 133bitr4rd 286 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
152, 14bitrd 253 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   {cpr 3979   <.cop 3983   class class class wbr 4392   ran crn 4941  (class class class)co 6192   USGrph cusg 23401   Neighbors cnbgra 23466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-hash 12207  df-usgra 23403  df-nbgra 23469
This theorem is referenced by:  nbgraisvtx  23479  nbgracnvfv  23486  nbgraf1olem3  23489  nbgraf1olem5  23491  nb3graprlem1  23496  frgranbnb  30752  frgrancvvdeqlem2  30764  frgrancvvdeqlem3  30765  frgrancvvdeqlem4  30766  frgrancvvdeqlem7  30769  frgrancvvdeqlemC  30772  frgrawopreglem4  30780  numclwwlkovf2ex  30819
  Copyright terms: Public domain W3C validator