MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgraeledg Structured version   Unicode version

Theorem nbgraeledg 24847
Description: A class/vertex is a neighbor of another class/vertex if and only if it is an endpoint of an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgraeledg  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem nbgraeledg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 24845 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  =  {
n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } )
21eleq2d 2472 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E } ) )
3 usgraedgrnv 24794 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V ) )
43simprd 461 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { K ,  N }  e.  ran  E )  ->  N  e.  V )
54ex 432 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  ->  N  e.  V
) )
65pm4.71rd 633 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { K ,  N }  e.  ran  E  <-> 
( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
7 prcom 4050 . . . . 5  |-  { N ,  K }  =  { K ,  N }
87a1i 11 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  { N ,  K }  =  { K ,  N }
)
98eleq1d 2471 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  K }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
10 preq2 4052 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { K ,  n }  =  { K ,  N }
)
1110eleq1d 2471 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( { K ,  n }  e.  ran  E  <->  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3207 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( N  e.  V  /\  { K ,  N }  e.  ran  E ) ) )
146, 9, 133bitr4rd 286 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e. 
{ n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  E }  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
152, 14bitrd 253 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  ( <. V ,  E >. Neighbors  K )  <->  { N ,  K }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   {cpr 3974   <.cop 3978   class class class wbr 4395   ran crn 4824  (class class class)co 6278   USGrph cusg 24747   Neighbors cnbgra 24834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453  df-usgra 24750  df-nbgra 24837
This theorem is referenced by:  nbgraisvtx  24848  nbgracnvfv  24857  nbgraf1olem3  24860  nbgraf1olem5  24862  nb3graprlem1  24868  frgranbnb  25437  frgrancvvdeqlem2  25448  frgrancvvdeqlem3  25449  frgrancvvdeqlem4  25450  frgrancvvdeqlem7  25453  frgrancvvdeqlemC  25456  frgrawopreglem4  25464  numclwwlkovf2ex  25503
  Copyright terms: Public domain W3C validator