MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgra0edg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nbgra0edg 25153
Description: In a graph with no edges, every vertex has no neighbor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbgra0edg  |-  ( V USGrph  (/) 
->  ( <. V ,  (/) >. Neighbors  K )  =  (/) )

Proof of Theorem nbgra0edg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbusgra 25149 . 2  |-  ( V USGrph  (/) 
->  ( <. V ,  (/) >. Neighbors  K )  =  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  (/) } )
2 noel 3734 . . . . . . 7  |-  -.  { K ,  n }  e.  (/)
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( n  e.  V  ->  -.  { K ,  n }  e.  (/) )
4 rn0 5085 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
54eleq2i 2520 . . . . . 6  |-  ( { K ,  n }  e.  ran  (/)  <->  { K ,  n }  e.  (/) )
63, 5sylnibr 307 . . . . 5  |-  ( n  e.  V  ->  -.  { K ,  n }  e.  ran  (/) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( V USGrph  (/) 
->  ( n  e.  V  ->  -.  { K ,  n }  e.  ran  (/) ) )
87ralrimiv 2799 . . 3  |-  ( V USGrph  (/) 
->  A. n  e.  V  -.  { K ,  n }  e.  ran  (/) )
9 rabeq0 3753 . . 3  |-  ( { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  (/) }  =  (/)  <->  A. n  e.  V  -.  { K ,  n }  e.  ran  (/) )
108, 9sylibr 216 . 2  |-  ( V USGrph  (/) 
->  { n  e.  V  |  { K ,  n }  e.  ran  (/) }  =  (/) )
111, 10eqtrd 2484 1  |-  ( V USGrph  (/) 
->  ( <. V ,  (/) >. Neighbors  K )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   (/)c0 3730   {cpr 3969   <.cop 3973   class class class wbr 4401   ran crn 4834  (class class class)co 6288   USGrph cusg 25050   Neighbors cnbgra 25138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053  df-nbgra 25141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator