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Theorem nbgr2vtx1edg 39418
Description: If a graph has two vertices, and there is an edge between the vertices, then each vertex is the neighbor of the other vertex. (Contributed by AV, 2-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgr2vtx1edg.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
nbgr2vtx1edg.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
nbgr2vtx1edg  |-  ( ( G  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2  /\  V  e.  E )  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) )
Distinct variable groups:    n, E    n, G, v    n, V, v
Allowed substitution hints:    E( v)    W( v, n)

Proof of Theorem nbgr2vtx1edg
Dummy variables  a 
b  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgr2vtx1edg.v . . . . 5  |-  V  =  (Vtx `  G )
2 fvex 5875 . . . . 5  |-  (Vtx `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2525 . . . 4  |-  V  e. 
_V
4 hash2prb 12633 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  2  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
# `  V )  =  2  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )
6 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)
76ancomd 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
b  e.  V  /\  a  e.  V )
)
87ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
( b  e.  V  /\  a  e.  V
) )
9 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  a  =/=  b
)
109necomd 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  b  =/=  a
)
1110ad2antlr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
b  =/=  a )
12 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a ,  b }  e.  E  ->  { a ,  b }  e.  E )
13 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  C_  e  <->  { a ,  b }  C_  { a ,  b } ) )
1413adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( { a ,  b }  C_  e 
<->  { a ,  b }  C_  { a ,  b } ) )
15 ssid 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a ,  b }  C_  { a ,  b }
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a ,  b }  e.  E  ->  { a ,  b }  C_  { a ,  b } )
1712, 14, 16rspcedvd 3155 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a ,  b }  e.  E  ->  E. e  e.  E  { a ,  b }  C_  e )
1817adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  ->  E. e  e.  E  { a ,  b }  C_  e )
19 nbgr2vtx1edg.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  (Edg `  G )
201, 19nbgrel 39410 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  W  ->  (
b  e.  ( G NeighbVtx  a )  <->  ( (
b  e.  V  /\  a  e.  V )  /\  b  =/=  a  /\  E. e  e.  E  { a ,  b }  C_  e )
) )
2120ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
( b  e.  ( G NeighbVtx  a )  <->  ( (
b  e.  V  /\  a  e.  V )  /\  b  =/=  a  /\  E. e  e.  E  { a ,  b }  C_  e )
) )
228, 11, 18, 21mpbir3and 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
b  e.  ( G NeighbVtx  a ) )
236ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )
249ad2antlr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
a  =/=  b )
25 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { b ,  a }  C_  e  <->  { b ,  a }  C_  { a ,  b } ) )
2625adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { a ,  b }  e.  E  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( { b ,  a }  C_  e 
<->  { b ,  a }  C_  { a ,  b } ) )
27 prcom 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { b ,  a }  =  { a ,  b }
2827eqimssi 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  { b ,  a }  C_  { a ,  b }
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a ,  b }  e.  E  ->  { b ,  a }  C_  { a ,  b } )
3012, 26, 29rspcedvd 3155 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a ,  b }  e.  E  ->  E. e  e.  E  { b ,  a }  C_  e )
3130adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  ->  E. e  e.  E  { b ,  a }  C_  e )
321, 19nbgrel 39410 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  W  ->  (
a  e.  ( G NeighbVtx  b )  <->  ( (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  a  =/=  b  /\  E. e  e.  E  { b ,  a }  C_  e )
) )
3332ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
( a  e.  ( G NeighbVtx  b )  <->  ( (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  a  =/=  b  /\  E. e  e.  E  { b ,  a }  C_  e )
) )
3423, 24, 31, 33mpbir3and 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
a  e.  ( G NeighbVtx  b ) )
35 difprsn1 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =/=  b  ->  ( { a ,  b }  \  { a } )  =  {
b } )
3635raleqdv 2993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =/=  b  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  <->  A. n  e.  { b } n  e.  ( G NeighbVtx  a ) ) )
37 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  b  e. 
_V
38 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  b  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  a )  <->  b  e.  ( G NeighbVtx  a ) ) )
3937, 38ralsn 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  { b } n  e.  ( G NeighbVtx  a )  <->  b  e.  ( G NeighbVtx  a ) )
4036, 39syl6bb 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  b  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  <->  b  e.  ( G NeighbVtx  a ) ) )
41 difprsn2 4109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =/=  b  ->  ( { a ,  b }  \  { b } )  =  {
a } )
4241raleqdv 2993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =/=  b  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b )  <->  A. n  e.  { a } n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
43 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  a  e. 
_V
44 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  a  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  b )  <->  a  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
4543, 44ralsn 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  { a } n  e.  ( G NeighbVtx  b )  <->  a  e.  ( G NeighbVtx  b ) )
4642, 45syl6bb 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =/=  b  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b )  <->  a  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
4740, 46anbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =/=  b  ->  (
( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) )  <->  ( b  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  a  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) ) )
4847adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( ( A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) )  <->  ( b  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  a  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) ) )
4948ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
( ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) )  <->  ( b  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  a  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) ) )
5022, 34, 49mpbir2and 933 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } ) )  /\  {
a ,  b }  e.  E )  -> 
( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
5150ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  (
a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )  ->  ( {
a ,  b }  e.  E  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b )
) ) )
52 eleq1 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V  e.  E  <->  { a ,  b }  e.  E ) )
53 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  V  =  { a ,  b } )
54 difeq1 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V  \  { v } )  =  ( { a ,  b } 
\  { v } ) )
5554raleqdv 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) )
5653, 55raleqbidv 3001 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. v  e.  { a ,  b } A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) )
57 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  a  ->  { v }  =  { a } )
5857difeq2d 3551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  a  ->  ( { a ,  b }  \  { v } )  =  ( { a ,  b }  \  { a } ) )
59 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  a  ->  ( G NeighbVtx  v )  =  ( G NeighbVtx  a ) )
6059eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  a  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  n  e.  ( G NeighbVtx  a ) ) )
6158, 60raleqbidv 3001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  a  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. n  e.  ( { a ,  b } 
\  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a ) ) )
6261idi 2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  a  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. n  e.  ( { a ,  b } 
\  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a ) ) )
63 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  b  ->  { v }  =  { b } )
6463difeq2d 3551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  b  ->  ( { a ,  b }  \  { v } )  =  ( { a ,  b }  \  { b } ) )
65 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  b  ->  ( G NeighbVtx  v )  =  ( G NeighbVtx  b ) )
6665eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  b  ->  (
n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
6764, 66raleqbidv 3001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  b  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. n  e.  ( { a ,  b } 
\  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
6843, 37, 62, 67ralpr 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  { a ,  b } A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) )
6956, 68syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  ( A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( {
a ,  b } 
\  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) ) )
7052, 69imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) )  <->  ( {
a ,  b }  e.  E  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b )
) ) ) )
7170adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( ( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) )  <->  ( { a ,  b }  e.  E  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  {
b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b ) ) ) ) )
7271adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  (
a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )  ->  ( ( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) )  <->  ( {
a ,  b }  e.  E  ->  ( A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { a } ) n  e.  ( G NeighbVtx  a )  /\  A. n  e.  ( { a ,  b }  \  { b } ) n  e.  ( G NeighbVtx  b )
) ) ) )
7351, 72mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  (
a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )  ->  ( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) )
7473ex 436 . . . 4  |-  ( ( G  e.  W  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  (
( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } )  ->  ( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) ) )
7574rexlimdvva 2886 . . 3  |-  ( G  e.  W  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  V  =  {
a ,  b } )  ->  ( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) ) )
765, 75syl5bi 221 . 2  |-  ( G  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  e.  E  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) ) )
77763imp 1202 1  |-  ( ( G  e.  W  /\  ( # `  V )  =  2  /\  V  e.  E )  ->  A. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   2c2 10659   #chash 12515  Vtxcvtx 39101  Edgcedga 39210   NeighbVtx cnbgr 39397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-nbgr 39401
This theorem is referenced by:  uvtx2vtx1edg  39471
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