Theorem nbgr2vtx1edg 39418

Description: If a graph has two vertices, and there is an edge between the vertices, then each vertex is the neighbor of the other vertex. (Contributed by AV, 2-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbgr2vtx1edg.v	|- V = (Vtx ` G )
nbgr2vtx1edg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
nbgr2vtx1edg	|- ( ( G e. W /\ ( # ` V ) = 2 /\ V e. E ) -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) )

Distinct variable groups:   n, E   n, G, v   n, V, v

Allowed substitution hints:   E( v)   W( v, n)

Proof of Theorem nbgr2vtx1edg

Dummy variables a b e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgr2vtx1edg.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		fvex 5875	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2525	. . . 4 |- V e. _V
4		hash2prb 12633	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) )
6		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a e. V /\ b e. V ) )
7	6	ancomd 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( b e. V /\ a e. V ) )
8	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( b e. V /\ a e. V ) )
9		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> a =/= b )
10	9	necomd 2679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> b =/= a )
11	10	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> b =/= a )
12		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a , b } e. E -> { a , b } e. E )
13		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = { a , b } -> ( { a , b } C_ e <-> { a , b } C_ { a , b } ) )
14	13	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a , b } e. E /\ e = { a , b } ) -> ( { a , b } C_ e <-> { a , b } C_ { a , b } ) )
15		ssid 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- { a , b } C_ { a , b }
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a , b } e. E -> { a , b } C_ { a , b } )
17	12, 14, 16	rspcedvd 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( { a , b } e. E -> E. e e. E { a , b } C_ e )
18	17	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> E. e e. E { a , b } C_ e )
19		nbgr2vtx1edg.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = (Edg ` G )
20	1, 19	nbgrel 39410	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. W -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) <-> ( ( b e. V /\ a e. V ) /\ b =/= a /\ E. e e. E { a , b } C_ e ) ) )
21	20	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) <-> ( ( b e. V /\ a e. V ) /\ b =/= a /\ E. e e. E { a , b } C_ e ) ) )
22	8, 11, 18, 21	mpbir3and 1191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> b e. ( G NeighbVtx a ) )
23	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( a e. V /\ b e. V ) )
24	9	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> a =/= b )
25		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = { a , b } -> ( { b , a } C_ e <-> { b , a } C_ { a , b } ) )
26	25	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a , b } e. E /\ e = { a , b } ) -> ( { b , a } C_ e <-> { b , a } C_ { a , b } ) )
27		prcom 4050	. . . . . . . . . . . . 13 |- { b , a } = { a , b }
28	27	eqimssi 3486	. . . . . . . . . . . 12 |- { b , a } C_ { a , b }
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a , b } e. E -> { b , a } C_ { a , b } )
30	12, 26, 29	rspcedvd 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( { a , b } e. E -> E. e e. E { b , a } C_ e )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> E. e e. E { b , a } C_ e )
32	1, 19	nbgrel 39410	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. W -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ a =/= b /\ E. e e. E { b , a } C_ e ) ) )
33	32	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ a =/= b /\ E. e e. E { b , a } C_ e ) ) )
34	23, 24, 31, 33	mpbir3and 1191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> a e. ( G NeighbVtx b ) )
35		difprsn1 4108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a =/= b -> ( { a , b } \ { a } ) = { b } )
36	35	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) <-> A. n e. { b } n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
37		vex 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
38		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = b -> ( n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) )
39	37, 38	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. { b } n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) )
40	36, 39	syl6bb 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) )
41		difprsn2 4109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a =/= b -> ( { a , b } \ { b } ) = { a } )
42	41	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) <-> A. n e. { a } n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
43		vex 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
44		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> ( n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) )
45	43, 44	ralsn 4010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. { a } n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) )
46	42, 45	syl6bb 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) )
47	40, 46	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( a =/= b -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
48	47	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
49	48	ad2antlr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
50	22, 34, 49	mpbir2and 933	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
51	50	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
52		eleq1 2517	. . . . . . . . 9 |- ( V = { a , b } -> ( V e. E <-> { a , b } e. E ) )
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { a , b } -> V = { a , b } )
54		difeq1 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V = { a , b } -> ( V \ { v } ) = ( { a , b } \ { v } ) )
55	54	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { a , b } -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
56	53, 55	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { a , b } -> ( A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
57		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = a -> { v } = { a } )
58	57	difeq2d 3551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = a -> ( { a , b } \ { v } ) = ( { a , b } \ { a } ) )
59		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = a -> ( G NeighbVtx v ) = ( G NeighbVtx a ) )
60	59	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = a -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
61	58, 60	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = a -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
62	61	idi 2	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = a -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
63		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = b -> { v } = { b } )
64	63	difeq2d 3551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = b -> ( { a , b } \ { v } ) = ( { a , b } \ { b } ) )
65		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = b -> ( G NeighbVtx v ) = ( G NeighbVtx b ) )
66	65	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = b -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
67	64, 66	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
68	43, 37, 62, 67	ralpr 4025	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
69	56, 68	syl6bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( V = { a , b } -> ( A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
70	52, 69	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( V = { a , b } -> ( ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) )
71	70	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) )
72	71	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) )
73	51, 72	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
74	73	ex 436	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) )
75	74	rexlimdvva 2886	. . 3 |- ( G e. W -> ( E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) )
76	5, 75	syl5bi 221	. 2 |- ( G e. W -> ( ( # ` V ) = 2 -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) )
77	76	3imp 1202	1 |- ( ( G e. W /\ ( # ` V ) = 2 /\ V e. E ) -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   2c2 10659   #chash 12515  Vtxcvtx 39101  Edgcedga 39210   NeighbVtx cnbgr 39397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-nbgr 39401

This theorem is referenced by:  uvtx2vtx1edg  39471