Theorem nbcusgra 24762

Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nbcusgra	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )

Proof of Theorem nbcusgra

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 24757	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		nbusgra 24727	. . . . . . 7 |- ( V USGrph E -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
3	2	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
4	3	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
5		usgrav 24637	. . . . . . . . . 10 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
6		iscusgra 24755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) )
8	7	biimpa 482	. . . . . . . 8 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) )
9		df-ral 2756	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) )
10		preq2 4049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> { N , n } = { N , x } )
11	10	eleq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( { N , n } e. ran E <-> { N , x } e. ran E ) )
12	11	elrab 3204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) )
13		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. V -> ( -. x e. V -> x e. ( V \ { N } ) ) )
14	13	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) -> ( -. x e. V -> x e. ( V \ { N } ) ) )
15	14	com12 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. V -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) -> x e. ( V \ { N } ) ) )
16		eldif 3421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( V \ { N } ) <-> ( x e. V /\ -. x e. { N } ) )
17		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. V -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
18	17	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. V /\ -. x e. { N } ) -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
19	16, 18	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( V \ { N } ) -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
20	19	com12 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. V -> ( x e. ( V \ { N } ) -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
21	15, 20	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x e. V -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
22	21	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x e. V -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
23		usgraedgrn 24680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( V USGrph E /\ { N , x } e. ran E ) -> N =/= x )
24		elsni 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. { N } -> x = N )
25		eqcom 2409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N = x <-> x = N )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. { N } -> N = x )
27	26	necon3ai 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N =/= x -> -. x e. { N } )
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ { N , x } e. ran E ) -> -. x e. { N } )
29	28	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
30	29	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
32		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> N e. V )
33		elsncg 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. V -> ( N e. { x } <-> N = x ) )
34		elsn 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x e. { N } <-> x = N )
35	34	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x = N -> x e. { N } )
36	25, 35	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N = x -> x e. { N } )
37	33, 36	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. V -> ( N e. { x } -> x e. { N } ) )
38	37	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. V -> ( -. x e. { N } -> -. N e. { x } ) )
39	38	impcom 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> -. N e. { x } )
40	32, 39	eldifd 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> N e. ( V \ { x } ) )
41		preq1 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = N -> { k , x } = { N , x } )
42	41	eleq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k = N -> ( { k , x } e. ran E <-> { N , x } e. ran E ) )
43	42	rspcva 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ( V \ { x } ) /\ A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> { N , x } e. ran E )
44		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( { N , x } e. ran E -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) )
45	44	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( { N , x } e. ran E -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) )
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. ( V \ { x } ) /\ A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) )
47	46	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. ( V \ { x } ) -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ( V \ { x } ) -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
49	40, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
50	49	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. x e. { N } -> ( N e. V -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) ) )
51	50	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V USGrph E -> ( N e. V -> ( -. x e. { N } -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) ) )
52	51	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( -. x e. { N } -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
53	52	com12 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. x e. { N } -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
54	53	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( x e. V -> ( -. x e. { N } -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
55	54	imp31 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( -. x e. { N } -> { N , x } e. ran E ) )
56	31, 55	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( { N , x } e. ran E <-> -. x e. { N } ) )
57	56	pm5.32da 639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> ( x e. V /\ -. x e. { N } ) ) )
58	57, 16	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
59	58	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
60	22, 59	ja 161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
61	60	impcom 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
62	12, 61	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) -> ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
63	62	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
64	63	alimdv 1728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. x ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
65	9, 64	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
66	65	impancom 438	. . . . . . . 8 |- ( ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
67	8, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( N e. V -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
68	67	imp 427	. . . . . 6 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
69		dfcleq 2393	. . . . . 6 |- ( { n e. V | { N , n } e. ran E } = ( V \ { N } ) <-> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
70	68, 69	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> { n e. V | { N , n } e. ran E } = ( V \ { N } ) )
71	4, 70	eqtrd 2441	. . . 4 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )
72	71	ex 432	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( N e. V -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) ) )
73	1, 72	mpancom 667	. 2 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) ) )
74	73	imp 427	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1401   = wceq 1403   e. wcel 1840   =/= wne 2596   A.wral 2751   {crab 2755   _Vcvv 3056   \ cdif 3408   {csn 3969   {cpr 3971   <.cop 3975   class class class wbr 4392   ran crn 4941  (class class class)co 6232   USGrph cusg 24629   Neighbors cnbgra 24716   ComplUSGrph ccusgra 24717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-hash 12358  df-usgra 24632  df-nbgra 24719  df-cusgra 24720

This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  24774  cusgraisrusgra  25237  vdcusgra  37921