Theorem nbcusgra 23376

Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nbcusgra	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )

Proof of Theorem nbcusgra

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 23371	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		nbusgra 23344	. . . . . . 7 |- ( V USGrph E -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
3	2	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
4	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
5		usgrav 23275	. . . . . . . . . 10 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
6		iscusgra 23369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) )
8	7	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) )
9		df-ral 2725	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) )
10		preq2 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> { N , n } = { N , x } )
11	10	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( { N , n } e. ran E <-> { N , x } e. ran E ) )
12	11	elrab 3122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) )
13		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. V -> ( -. x e. V -> x e. ( V \ { N } ) ) )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) -> ( -. x e. V -> x e. ( V \ { N } ) ) )
15	14	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. V -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) -> x e. ( V \ { N } ) ) )
16		eldif 3343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( V \ { N } ) <-> ( x e. V /\ -. x e. { N } ) )
17		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. V -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. V /\ -. x e. { N } ) -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
19	16, 18	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( V \ { N } ) -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
20	19	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. V -> ( x e. ( V \ { N } ) -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
21	15, 20	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x e. V -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
22	21	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x e. V -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
23		usgraedgrn 23305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( V USGrph E /\ { N , x } e. ran E ) -> N =/= x )
24		elsni 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. { N } -> x = N )
25		eqcom 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N = x <-> x = N )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. { N } -> N = x )
27	26	necon3ai 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N =/= x -> -. x e. { N } )
28	23, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ { N , x } e. ran E ) -> -. x e. { N } )
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
32		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> N e. V )
33		elsncg 3905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. V -> ( N e. { x } <-> N = x ) )
34		elsn 3896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x e. { N } <-> x = N )
35	34	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x = N -> x e. { N } )
36	25, 35	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N = x -> x e. { N } )
37	33, 36	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. V -> ( N e. { x } -> x e. { N } ) )
38	37	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. V -> ( -. x e. { N } -> -. N e. { x } ) )
39	38	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> -. N e. { x } )
40	32, 39	eldifd 3344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> N e. ( V \ { x } ) )
41		preq1 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = N -> { k , x } = { N , x } )
42	41	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k = N -> ( { k , x } e. ran E <-> { N , x } e. ran E ) )
43	42	rspcva 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ( V \ { x } ) /\ A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> { N , x } e. ran E )
44		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( { N , x } e. ran E -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) )
45	44	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( { N , x } e. ran E -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) )
46	43, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. ( V \ { x } ) /\ A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) )
47	46	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. ( V \ { x } ) -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ( V \ { x } ) -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
49	40, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
50	49	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. x e. { N } -> ( N e. V -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) ) )
51	50	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V USGrph E -> ( N e. V -> ( -. x e. { N } -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) ) )
52	51	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( -. x e. { N } -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
53	52	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. x e. { N } -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
54	53	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( x e. V -> ( -. x e. { N } -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
55	54	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( -. x e. { N } -> { N , x } e. ran E ) )
56	31, 55	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( { N , x } e. ran E <-> -. x e. { N } ) )
57	56	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> ( x e. V /\ -. x e. { N } ) ) )
58	57, 16	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
60	22, 59	ja 161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
61	60	impcom 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
62	12, 61	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) -> ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
63	62	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
64	63	alimdv 1675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. x ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
65	9, 64	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
66	65	impancom 440	. . . . . . . 8 |- ( ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
67	8, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( N e. V -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
68	67	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
69		dfcleq 2437	. . . . . 6 |- ( { n e. V | { N , n } e. ran E } = ( V \ { N } ) <-> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
70	68, 69	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> { n e. V | { N , n } e. ran E } = ( V \ { N } ) )
71	4, 70	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )
72	71	ex 434	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( N e. V -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) ) )
73	1, 72	mpancom 669	. 2 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) ) )
74	73	imp 429	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   {csn 3882   {cpr 3884   <.cop 3888   class class class wbr 4297   ran crn 4846  (class class class)co 6096   USGrph cusg 23269   Neighbors cnbgra 23334   ComplUSGrph ccusgra 23335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-usgra 23271  df-nbgra 23337  df-cusgra 23338

This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  23388  vdcusgra  30536  cusgraisrusgra  30556