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Theorem nbcusgra 24286
Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbcusgra  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )

Proof of Theorem nbcusgra
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24281 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 nbusgra 24251 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
5 usgrav 24161 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
6 iscusgra 24279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
87biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
9 df-ral 2822 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
10 preq2 4113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  { N ,  n }  =  { N ,  x }
)
1110eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
13 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
1514com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
16 eldif 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  <->  ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) )
17 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } )  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2019com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( x  e.  ( V  \  { N } )  ->  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2115, 20impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
2221a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
23 usgraedgrn 24204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  N  =/=  x )
24 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  { N }  ->  x  =  N )
25 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  =  x  <->  x  =  N )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  { N }  ->  N  =  x )
2726necon3ai 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  =/=  x  ->  -.  x  e.  { N } )
2823, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  -.  x  e.  { N } )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
33 elsncg 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x } 
<->  N  =  x ) )
34 elsn 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
3534biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  N  ->  x  e.  { N } )
3625, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  =  x  ->  x  e.  { N } )
3733, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x }  ->  x  e.  { N } ) )
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  -.  N  e.  { x } ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  -.  N  e.  { x } )
4032, 39eldifd 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  ( V  \  {
x } ) )
41 preq1 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  =  N  ->  { k ,  x }  =  { N ,  x }
)
4241eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  N  ->  ( { k ,  x }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4342rspcva 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
44 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4544a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( x  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4847com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4940, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5150com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5453com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5554imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  x  e. 
{ N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
5631, 55impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  -.  x  e.  { N } ) )
5756pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) ) )
5857, 16syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6022, 59ja 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) ) )
6160impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
6212, 61syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
6362ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6463alimdv 1685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  A. x ( x  e. 
{ n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
659, 64syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
6665impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
678, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6867imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
69 dfcleq 2460 . . . . . 6  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } )  <->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } ) )
714, 70eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
731, 72mpancom 669 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
7473imp 429 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   {csn 4033   {cpr 4035   <.cop 4039   class class class wbr 4453   ran crn 5006  (class class class)co 6295   USGrph cusg 24153   Neighbors cnbgra 24240   ComplUSGrph ccusgra 24241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-usgra 24156  df-nbgra 24243  df-cusgra 24244
This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  24298  cusgraisrusgra  24761  vdcusgra  32149
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