Theorem nbcusgra 25247

Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nbcusgra	|- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )

Proof of Theorem nbcusgra

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 25242	. . 3 |- ( V ComplUSGrph E -> V USGrph E )
2		nbusgra 25212	. . . . . . 7 |- ( V USGrph E -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
3	2	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
4	3	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = { n e. V | { N , n } e. ran E } )
5		usgrav 25121	. . . . . . . . . 10 |- ( V USGrph E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
6		iscusgra 25240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( V USGrph E -> ( V ComplUSGrph E <-> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) )
8	7	biimpa 491	. . . . . . . 8 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) )
9		df-ral 2754	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E <-> A. x ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) )
10		preq2 4065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> { N , n } = { N , x } )
11	10	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = x -> ( { N , n } e. ran E <-> { N , x } e. ran E ) )
12	11	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) )
13		pm2.24 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. V -> ( -. x e. V -> x e. ( V \ { N } ) ) )
14	13	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) -> ( -. x e. V -> x e. ( V \ { N } ) ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. V -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) -> x e. ( V \ { N } ) ) )
16		eldif 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( V \ { N } ) <-> ( x e. V /\ -. x e. { N } ) )
17		pm2.24 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. V -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
18	17	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. V /\ -. x e. { N } ) -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
19	16, 18	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( V \ { N } ) -> ( -. x e. V -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
20	19	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. V -> ( x e. ( V \ { N } ) -> ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) ) )
21	15, 20	impbid 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x e. V -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
22	21	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x e. V -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
23		usgraedgrn 25164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( V USGrph E /\ { N , x } e. ran E ) -> N =/= x )
24		elsni 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. { N } -> x = N )
25		eqcom 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N = x <-> x = N )
26	24, 25	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. { N } -> N = x )
27	26	necon3ai 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N =/= x -> -. x e. { N } )
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ { N , x } e. ran E ) -> -. x e. { N } )
29	28	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( V USGrph E -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
30	29	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
31	30	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( { N , x } e. ran E -> -. x e. { N } ) )
32		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> N e. V )
33		elsncg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. V -> ( N e. { x } <-> N = x ) )
34		elsn 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( x e. { N } <-> x = N )
35	34	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x = N -> x e. { N } )
36	25, 35	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N = x -> x e. { N } )
37	33, 36	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. V -> ( N e. { x } -> x e. { N } ) )
38	37	con3d 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. V -> ( -. x e. { N } -> -. N e. { x } ) )
39	38	impcom 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> -. N e. { x } )
40	32, 39	eldifd 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> N e. ( V \ { x } ) )
41		preq1 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k = N -> { k , x } = { N , x } )
42	41	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k = N -> ( { k , x } e. ran E <-> { N , x } e. ran E ) )
43	42	rspcva 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ( V \ { x } ) /\ A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> { N , x } e. ran E )
44	43	2a1d 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. ( V \ { x } ) /\ A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) )
45	44	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. ( V \ { x } ) -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( x e. V -> ( V USGrph E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
46	45	com24 90	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ( V \ { x } ) -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
47	40, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. x e. { N } /\ N e. V ) -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
48	47	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. x e. { N } -> ( N e. V -> ( V USGrph E -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) ) )
49	48	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( V USGrph E -> ( N e. V -> ( -. x e. { N } -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) ) )
50	49	imp 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( -. x e. { N } -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. x e. { N } -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( x e. V -> ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
52	51	com14 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( x e. V -> ( -. x e. { N } -> { N , x } e. ran E ) ) ) )
53	52	imp31 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( -. x e. { N } -> { N , x } e. ran E ) )
54	31, 53	impbid 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) /\ x e. V ) -> ( { N , x } e. ran E <-> -. x e. { N } ) )
55	54	pm5.32da 651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> ( x e. V /\ -. x e. { N } ) ) )
56	55, 16	syl6bbr 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E /\ ( V USGrph E /\ N e. V ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
57	56	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
58	22, 57	ja 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
59	58	impcom 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. ran E ) <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
60	12, 59	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V USGrph E /\ N e. V ) /\ ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) ) -> ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
61	60	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
62	61	alimdv 1774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. x ( x e. V -> A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
63	9, 62	syl5bi 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( V USGrph E /\ N e. V ) -> ( A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
64	63	impancom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( V USGrph E /\ A. x e. V A. k e. ( V \ { x } ) { k , x } e. ran E ) -> ( N e. V -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
65	8, 64	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( N e. V -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) ) )
66	65	imp 435	. . . . . 6 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
67		dfcleq 2456	. . . . . 6 |- ( { n e. V | { N , n } e. ran E } = ( V \ { N } ) <-> A. x ( x e. { n e. V | { N , n } e. ran E } <-> x e. ( V \ { N } ) ) )
68	66, 67	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> { n e. V | { N , n } e. ran E } = ( V \ { N } ) )
69	4, 68	eqtrd 2496	. . . 4 |- ( ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )
70	69	ex 440	. . 3 |- ( ( V USGrph E /\ V ComplUSGrph E ) -> ( N e. V -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) ) )
71	1, 70	mpancom 680	. 2 |- ( V ComplUSGrph E -> ( N e. V -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) ) )
72	71	imp 435	1 |- ( ( V ComplUSGrph E /\ N e. V ) -> ( <. V , E >. Neighbors N ) = ( V \ { N } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   {crab 2753   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   {csn 3980   {cpr 3982   <.cop 3986   class class class wbr 4418   ran crn 4857  (class class class)co 6320   USGrph cusg 25113   Neighbors cnbgra 25201   ComplUSGrph ccusgra 25202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-hash 12554  df-usgra 25116  df-nbgra 25204  df-cusgra 25205

This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  25259  cusgraisrusgra  25722  vdcusgra  40042