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Theorem nbcusgra 23376
Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbcusgra  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )

Proof of Theorem nbcusgra
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 23371 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 nbusgra 23344 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
5 usgrav 23275 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
6 iscusgra 23369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
87biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
9 df-ral 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
10 preq2 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  { N ,  n }  =  { N ,  x }
)
1110eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
13 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
1514com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
16 eldif 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  <->  ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) )
17 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } )  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2019com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( x  e.  ( V  \  { N } )  ->  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2115, 20impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
2221a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
23 usgraedgrn 23305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  N  =/=  x )
24 elsni 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  { N }  ->  x  =  N )
25 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  =  x  <->  x  =  N )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  { N }  ->  N  =  x )
2726necon3ai 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  =/=  x  ->  -.  x  e.  { N } )
2823, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  -.  x  e.  { N } )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
33 elsncg 3905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x } 
<->  N  =  x ) )
34 elsn 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
3534biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  N  ->  x  e.  { N } )
3625, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  =  x  ->  x  e.  { N } )
3733, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x }  ->  x  e.  { N } ) )
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  -.  N  e.  { x } ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  -.  N  e.  { x } )
4032, 39eldifd 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  ( V  \  {
x } ) )
41 preq1 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  =  N  ->  { k ,  x }  =  { N ,  x }
)
4241eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  N  ->  ( { k ,  x }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4342rspcva 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
44 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4544a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( x  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4847com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4940, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5150com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5453com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5554imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  x  e. 
{ N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
5631, 55impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  -.  x  e.  { N } ) )
5756pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) ) )
5857, 16syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6022, 59ja 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) ) )
6160impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
6212, 61syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
6362ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6463alimdv 1675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  A. x ( x  e. 
{ n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
659, 64syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
6665impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
678, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6867imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
69 dfcleq 2437 . . . . . 6  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } )  <->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } ) )
714, 70eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
731, 72mpancom 669 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
7473imp 429 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   {csn 3882   {cpr 3884   <.cop 3888   class class class wbr 4297   ran crn 4846  (class class class)co 6096   USGrph cusg 23269   Neighbors cnbgra 23334   ComplUSGrph ccusgra 23335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-usgra 23271  df-nbgra 23337  df-cusgra 23338
This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  23388  vdcusgra  30536  cusgraisrusgra  30556
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