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Theorem nbcusgra 24762
Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbcusgra  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )

Proof of Theorem nbcusgra
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 24757 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 nbusgra 24727 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
43adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
5 usgrav 24637 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
6 iscusgra 24755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
87biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
9 df-ral 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
10 preq2 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  { N ,  n }  =  { N ,  x }
)
1110eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
13 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
1413adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
1514com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
16 eldif 3421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  <->  ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) )
17 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1817adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } )  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2019com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( x  e.  ( V  \  { N } )  ->  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2115, 20impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
2221a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
23 usgraedgrn 24680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  N  =/=  x )
24 elsni 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  { N }  ->  x  =  N )
25 eqcom 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  =  x  <->  x  =  N )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  { N }  ->  N  =  x )
2726necon3ai 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  =/=  x  ->  -.  x  e.  { N } )
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  -.  x  e.  { N } )
2928ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3130adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
32 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
33 elsncg 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x } 
<->  N  =  x ) )
34 elsn 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
3534biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  N  ->  x  e.  { N } )
3625, 35sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  =  x  ->  x  e.  { N } )
3733, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x }  ->  x  e.  { N } ) )
3837con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  -.  N  e.  { x } ) )
3938impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  -.  N  e.  { x } )
4032, 39eldifd 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  ( V  \  {
x } ) )
41 preq1 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  =  N  ->  { k ,  x }  =  { N ,  x }
)
4241eleq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  N  ->  ( { k ,  x }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4342rspcva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
44 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4544a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( x  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4746ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4847com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4940, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5049ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5150com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5251imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5352com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5453com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5554imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  x  e. 
{ N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
5631, 55impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  -.  x  e.  { N } ) )
5756pm5.32da 639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) ) )
5857, 16syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
5958ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6022, 59ja 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) ) )
6160impcom 428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
6212, 61syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
6362ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6463alimdv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  A. x ( x  e. 
{ n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
659, 64syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
6665impancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
678, 66syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6867imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
69 dfcleq 2393 . . . . . 6  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } )  <->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } ) )
714, 70eqtrd 2441 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
7271ex 432 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
731, 72mpancom 667 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
7473imp 427 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1401    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   {crab 2755   _Vcvv 3056    \ cdif 3408   {csn 3969   {cpr 3971   <.cop 3975   class class class wbr 4392   ran crn 4941  (class class class)co 6232   USGrph cusg 24629   Neighbors cnbgra 24716   ComplUSGrph ccusgra 24717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-hash 12358  df-usgra 24632  df-nbgra 24719  df-cusgra 24720
This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  24774  cusgraisrusgra  25237  vdcusgra  37921
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