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Theorem nbcusgra 25247
Description: In a complete (undirected simple) graph, each vertex has all other vertices as neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nbcusgra  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )

Proof of Theorem nbcusgra
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 25242 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 nbusgra 25212 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
32adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
43adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E } )
5 usgrav 25121 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
6 iscusgra 25240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  E  <->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) ) )
87biimpa 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
9 df-ral 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )
10 preq2 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  { N ,  n }  =  { N ,  x }
)
1110eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  x  ->  ( { N ,  n }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
1211elrab 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
13 pm2.24 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
1413adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
1514com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
16 eldif 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  <->  ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) )
17 pm2.24 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1817adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } )  ->  ( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
1916, 18sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( V  \  { N } )  -> 
( -.  x  e.  V  ->  ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2019com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( x  e.  ( V  \  { N } )  ->  (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2115, 20impbid 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
2221a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
23 usgraedgrn 25164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  N  =/=  x )
24 elsni 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  { N }  ->  x  =  N )
25 eqcom 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  =  x  <->  x  =  N )
2624, 25sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  { N }  ->  N  =  x )
2726necon3ai 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  =/=  x  ->  -.  x  e.  { N } )
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  ->  -.  x  e.  { N } )
2928ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3029ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
3130adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  ->  -.  x  e.  { N } ) )
32 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  V )
33 elsncg 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x } 
<->  N  =  x ) )
34 elsn 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  { N }  <->  x  =  N )
3534biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  N  ->  x  e.  { N } )
3625, 35sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  =  x  ->  x  e.  { N } )
3733, 36syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  e.  { x }  ->  x  e.  { N } ) )
3837con3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  -.  N  e.  { x } ) )
3938impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  -.  N  e.  { x } )
4032, 39eldifd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  N  e.  ( V  \  {
x } ) )
41 preq1 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  =  N  ->  { k ,  x }  =  { N ,  x }
)
4241eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  N  ->  ( { k ,  x }  e.  ran  E  <->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
4342rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  { N ,  x }  e.  ran  E )
44432a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  ( V 
\  { x }
)  /\  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( x  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) )
4544ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  (
x  e.  V  -> 
( V USGrph  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4645com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ( V  \  { x } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  x  e.  { N }  /\  N  e.  V )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
4847ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( N  e.  V  ->  ( V USGrph  E  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
4948com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5049imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  { N }  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5251com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( -.  x  e.  { N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) ) ) )
5352imp31 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  x  e. 
{ N }  ->  { N ,  x }  e.  ran  E ) )
5431, 53impbid 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( { N ,  x }  e.  ran  E  <->  -.  x  e.  { N } ) )
5554pm5.32da 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( x  e.  V  /\  -.  x  e.  { N } ) ) )
5655, 16syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  /\  ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
) )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) )
5756ex 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E  -> 
( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
5822, 57ja 166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
x  e.  ( V 
\  { N }
) ) ) )
5958impcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( x  e.  V  /\  { N ,  x }  e.  ran  E )  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) )
6012, 59syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
6160ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  { x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6261alimdv 1774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  ->  A. x ( x  e. 
{ n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
639, 62syl5bi 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  { x }
) { k ,  x }  e.  ran  E  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
6463impancom 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. x  e.  V  A. k  e.  ( V  \  {
x } ) { k ,  x }  e.  ran  E )  -> 
( N  e.  V  ->  A. x ( x  e.  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N }
) ) ) )
658, 64syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) ) )
6665imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
67 dfcleq 2456 . . . . . 6  |-  ( { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } )  <->  A. x
( x  e.  {
n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  <->  x  e.  ( V  \  { N } ) ) )
6866, 67sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  { n  e.  V  |  { N ,  n }  e.  ran  E }  =  ( V  \  { N } ) )
694, 68eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
7069ex 440 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  E )  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
711, 70mpancom 680 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N )  =  ( V  \  { N } ) ) )
7271imp 435 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( <. V ,  E >. Neighbors  N
)  =  ( V 
\  { N }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413   {csn 3980   {cpr 3982   <.cop 3986   class class class wbr 4418   ran crn 4857  (class class class)co 6320   USGrph cusg 25113   Neighbors cnbgra 25201   ComplUSGrph ccusgra 25202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-hash 12554  df-usgra 25116  df-nbgra 25204  df-cusgra 25205
This theorem is referenced by:  cusgrasizeindslem3  25259  cusgraisrusgra  25722  vdcusgra  40042
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