Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nb3grpr2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nb3grpr2 39457
Description: The neighbors of a vertex in a simple graph with three elements are an unordered pair of the other vertices iff all vertices are connected with each other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nb3grpr.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
nb3grpr.e  |-  E  =  (Edg `  G )
nb3grpr.g  |-  ( ph  ->  G  e. USGraph  )
nb3grpr.t  |-  ( ph  ->  V  =  { A ,  B ,  C }
)
nb3grpr.s  |-  ( ph  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
) )
nb3grpr.n  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )
Assertion
Ref Expression
nb3grpr2  |-  ( ph  ->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( G NeighbVtx  A )  =  { B ,  C }  /\  ( G NeighbVtx  B )  =  { A ,  C }  /\  ( G NeighbVtx  C )  =  { A ,  B } ) ) )

Proof of Theorem nb3grpr2
StepHypRef Expression
1 3anan32 997 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E
)  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E
)  /\  { B ,  C }  e.  E
) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E
)  /\  { B ,  C }  e.  E
) ) )
3 prcom 4050 . . . . . . . . . . 11  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
43eleq1i 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  A }  e.  E  <->  { A ,  C }  e.  E )
54biimpi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  A }  e.  E  ->  { A ,  C }  e.  E
)
65pm4.71i 638 . . . . . . . 8  |-  ( { C ,  A }  e.  E  <->  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E )
)
76anbi2i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  E  /\  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E
) ) )
8 anass 655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  { A ,  C }  e.  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  E  /\  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E ) ) )
97, 8bitr4i 256 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E
)  /\  { A ,  C }  e.  E
) )
109anbi1i 701 . . . . 5  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  { B ,  C }  e.  E )  <->  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  { A ,  C }  e.  E )  /\  { B ,  C }  e.  E )
)
11 anass 655 . . . . 5  |-  ( ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  { A ,  C }  e.  E )  /\  { B ,  C }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )
) )
1210, 11bitri 253 . . . 4  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  { B ,  C }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )
) )
132, 12syl6bb 265 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E
)  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E
) ) ) )
14 prcom 4050 . . . . . . . . . 10  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
1514eleq1i 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  e.  E  <->  { B ,  A }  e.  E )
1615biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  E  ->  { B ,  A }  e.  E
)
1716pm4.71i 638 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  e.  E  <->  ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E )
)
1817anbi1i 701 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E
)  /\  { C ,  A }  e.  E
) )
19 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E
)  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E
)  /\  { C ,  A }  e.  E
) )
2018, 19bitr4i 256 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )
)
21 prcom 4050 . . . . . . . . . 10  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
2221eleq1i 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( { B ,  C }  e.  E  <->  { C ,  B }  e.  E )
2322biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  E  ->  { C ,  B }  e.  E
)
2423pm4.71i 638 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  E  <->  ( { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E )
)
2524anbi2i 700 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )  <->  ( { A ,  C }  e.  E  /\  ( { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E
) ) )
26 3anass 989 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E
)  <->  ( { A ,  C }  e.  E  /\  ( { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E )
) )
2725, 26bitr4i 256 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )  <->  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E )
)
2820, 27anbi12i 703 . . . 4  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )
)  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E ) ) )
29 an6 1348 . . . 4  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  A }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E )
)  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E
)  /\  ( { B ,  A }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E
)  /\  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E
) ) )
3028, 29bitri 253 . . 3  |-  ( ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  /\  ( { A ,  C }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )
)  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E
)  /\  ( { B ,  A }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E
)  /\  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E
) ) )
3113, 30syl6bb 265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E
)  /\  ( { B ,  A }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E
)  /\  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E
) ) ) )
32 nb3grpr.v . . . 4  |-  V  =  (Vtx `  G )
33 nb3grpr.e . . . 4  |-  E  =  (Edg `  G )
34 nb3grpr.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. USGraph  )
35 nb3grpr.t . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  { A ,  B ,  C }
)
36 nb3grpr.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
) )
3732, 33, 34, 35, 36nb3grprlem1 39454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G NeighbVtx  A )  =  { B ,  C }  <->  ( { A ,  B }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E )
) )
38 tpcoma 4068 . . . . 5  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
3935, 38syl6eq 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  { B ,  A ,  C }
)
40 3ancoma 992 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  <->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z )
)
4136, 40sylib 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Z
) )
4232, 33, 34, 39, 41nb3grprlem1 39454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G NeighbVtx  B )  =  { A ,  C }  <->  ( { B ,  A }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E )
) )
43 tprot 4067 . . . . 5  |-  { C ,  A ,  B }  =  { A ,  B ,  C }
4435, 43syl6eqr 2503 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  { C ,  A ,  B }
)
45 3anrot 990 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )
)
4636, 45sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Z  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
4732, 33, 34, 44, 46nb3grprlem1 39454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G NeighbVtx  C )  =  { A ,  B }  <->  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E )
) )
4837, 42, 473anbi123d 1339 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G NeighbVtx  A )  =  { B ,  C }  /\  ( G NeighbVtx  B )  =  { A ,  C }  /\  ( G NeighbVtx  C )  =  { A ,  B } )  <->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { A ,  C }  e.  E
)  /\  ( { B ,  A }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E
)  /\  ( { C ,  A }  e.  E  /\  { C ,  B }  e.  E
) ) ) )
4931, 48bitr4d 260 1  |-  ( ph  ->  ( ( { A ,  B }  e.  E  /\  { B ,  C }  e.  E  /\  { C ,  A }  e.  E )  <->  ( ( G NeighbVtx  A )  =  { B ,  C }  /\  ( G NeighbVtx  B )  =  { A ,  C }  /\  ( G NeighbVtx  C )  =  { A ,  B } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   {cpr 3970   {ctp 3972   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  Vtxcvtx 39101  Edgcedga 39210   USGraph cusgr 39236   NeighbVtx cnbgr 39397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-upgr 39174  df-umgr 39175  df-edga 39211  df-usgr 39238  df-nbgr 39401
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator