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Theorem nb3graprlem1 25172
 Description: Lemma 1 for nb3grapr 25174. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nb3graprlem1 USGrph Neighbors

Proof of Theorem nb3graprlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prid1g 4077 . . . . . . . 8
213ad2ant2 1029 . . . . . . 7
32adantr 467 . . . . . 6 USGrph
43adantr 467 . . . . 5 USGrph Neighbors
5 eleq2 2517 . . . . . . 7 Neighbors Neighbors
65eqcoms 2458 . . . . . 6 Neighbors Neighbors
76adantl 468 . . . . 5 USGrph Neighbors Neighbors
84, 7mpbid 214 . . . 4 USGrph Neighbors Neighbors
9 nbgraeledg 25151 . . . . . . 7 USGrph Neighbors
10 prcom 4049 . . . . . . . . 9
1110a1i 11 . . . . . . . 8 USGrph
1211eleq1d 2512 . . . . . . 7 USGrph
139, 12bitrd 257 . . . . . 6 USGrph Neighbors
1413adantl 468 . . . . 5 USGrph Neighbors
1514ad2antlr 732 . . . 4 USGrph Neighbors Neighbors
168, 15mpbid 214 . . 3 USGrph Neighbors
17 prid2g 4078 . . . . . . . 8
18173ad2ant3 1030 . . . . . . 7
1918adantr 467 . . . . . 6 USGrph
2019adantr 467 . . . . 5 USGrph Neighbors
21 eleq2 2517 . . . . . . 7 Neighbors Neighbors
2221eqcoms 2458 . . . . . 6 Neighbors Neighbors
2322adantl 468 . . . . 5 USGrph Neighbors Neighbors
2420, 23mpbid 214 . . . 4 USGrph Neighbors Neighbors
25 nbgraeledg 25151 . . . . . . 7 USGrph Neighbors
26 prcom 4049 . . . . . . . . 9
2726a1i 11 . . . . . . . 8 USGrph
2827eleq1d 2512 . . . . . . 7 USGrph
2925, 28bitrd 257 . . . . . 6 USGrph Neighbors
3029adantl 468 . . . . 5 USGrph Neighbors
3130ad2antlr 732 . . . 4 USGrph Neighbors Neighbors
3224, 31mpbid 214 . . 3 USGrph Neighbors
3316, 32jca 535 . 2 USGrph Neighbors
34 nbusgra 25149 . . . . 5 USGrph Neighbors
3534ad2antll 734 . . . 4 USGrph Neighbors
3635adantr 467 . . 3 USGrph Neighbors
37 eleq2 2517 . . . . . . . . . 10
3837ad2antrl 733 . . . . . . . . 9 USGrph
3938adantr 467 . . . . . . . 8 USGrph
40 vex 3047 . . . . . . . . . . 11
4140eltp 4016 . . . . . . . . . 10
42 usgraedgrn 25101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
43 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 pm2.24 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4544eqcoms 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4743, 46sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4842, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
4948ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
5049ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
5251com3r 82 . . . . . . . . . . 11 USGrph
53 orc 387 . . . . . . . . . . . . 13
5453a1d 26 . . . . . . . . . . . 12
5554a1d 26 . . . . . . . . . . 11 USGrph
56 olc 386 . . . . . . . . . . . . 13
5756a1d 26 . . . . . . . . . . . 12
5857a1d 26 . . . . . . . . . . 11 USGrph
5952, 55, 583jaoi 1330 . . . . . . . . . 10 USGrph
6041, 59sylbi 199 . . . . . . . . 9 USGrph
6160com12 32 . . . . . . . 8 USGrph
6239, 61sylbid 219 . . . . . . 7 USGrph
6362impd 433 . . . . . 6 USGrph
64 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65643mix2i 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 eltpg 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6765, 66mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6867a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
69683ad2ant2 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph
7069imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
72 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
7571, 74mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
7637bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7776ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
7975, 78mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
8079ex 436 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
8180adantr 467 . . . . . . . . . . 11 USGrph
8281impcom 432 . . . . . . . . . 10 USGrph
83 preq2 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . 14
8584eqcoms 2458 . . . . . . . . . . . . 13
8685biimpcd 228 . . . . . . . . . . . 12
8786ad2antrl 733 . . . . . . . . . . 11 USGrph
8887impcom 432 . . . . . . . . . 10 USGrph
8982, 88jca 535 . . . . . . . . 9 USGrph
9089ex 436 . . . . . . . 8 USGrph
91 tpid3g 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
93923ad2ant3 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph
9493imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
9594adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
96 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
9995, 98mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
10077adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
10199, 100mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
102101ex 436 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
103102adantr 467 . . . . . . . . . . 11 USGrph
104103impcom 432 . . . . . . . . . 10 USGrph
105 preq2 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15
106105eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . 14
107106eqcoms 2458 . . . . . . . . . . . . 13
108107biimpcd 228 . . . . . . . . . . . 12
109108ad2antll 734 . . . . . . . . . . 11 USGrph
110109impcom 432 . . . . . . . . . 10 USGrph
111104, 110jca 535 . . . . . . . . 9 USGrph
112111ex 436 . . . . . . . 8 USGrph
11390, 112jaoi 381 . . . . . . 7 USGrph
114113com12 32 . . . . . 6 USGrph
11563, 114impbid 194 . . . . 5 USGrph
116115abbidv 2568 . . . 4 USGrph
117 df-rab 2745 . . . 4
118 dfpr2 3982 . . . 4
119116, 117, 1183eqtr4g 2509 . . 3 USGrph
12036, 119eqtrd 2484 . 2 USGrph Neighbors
12133, 120impbida 842 1 USGrph Neighbors
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3o 983   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  cab 2436   wne 2621  crab 2740  cpr 3969  ctp 3971  cop 3973   class class class wbr 4401   crn 4834  (class class class)co 6288   USGrph cusg 25050   Neighbors cnbgra 25138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053  df-nbgra 25141 This theorem is referenced by:  nb3grapr  25174  nb3grapr2  25175  nb3gra2nb  25176
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