Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nb3grapr2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nb3grapr2 25182
 Description: The neighbors of a vertex in a graph with three elements are an unordered pair of the other vertices if and only if all vertices are connected with each other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
nb3grapr2 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors

Proof of Theorem nb3grapr2
StepHypRef Expression
1 3anan32 997 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4 USGrph
3 prcom 4050 . . . . . . . . . . 11
43eleq1i 2520 . . . . . . . . . 10
54biimpi 198 . . . . . . . . 9
65pm4.71i 638 . . . . . . . 8
76anbi2i 700 . . . . . . 7
8 anass 655 . . . . . . 7
97, 8bitr4i 256 . . . . . 6
109anbi1i 701 . . . . 5
11 anass 655 . . . . 5
1210, 11bitri 253 . . . 4
132, 12syl6bb 265 . . 3 USGrph
14 prcom 4050 . . . . . . . . . 10
1514eleq1i 2520 . . . . . . . . 9
1615biimpi 198 . . . . . . . 8
1716pm4.71i 638 . . . . . . 7
1817anbi1i 701 . . . . . 6
19 df-3an 987 . . . . . 6
2018, 19bitr4i 256 . . . . 5
21 prcom 4050 . . . . . . . . . 10
2221eleq1i 2520 . . . . . . . . 9
2322biimpi 198 . . . . . . . 8
2423pm4.71i 638 . . . . . . 7
2524anbi2i 700 . . . . . 6
26 3anass 989 . . . . . 6
2725, 26bitr4i 256 . . . . 5
2820, 27anbi12i 703 . . . 4
29 an6 1348 . . . 4
3028, 29bitri 253 . . 3
3113, 30syl6bb 265 . 2 USGrph
32 nb3graprlem1 25179 . . . . 5 USGrph Neighbors
3332bicomd 205 . . . 4 USGrph Neighbors
34 3ancoma 992 . . . . . . 7
3534biimpi 198 . . . . . 6
36 tpcoma 4068 . . . . . . . . 9
3736eqeq2i 2463 . . . . . . . 8
3837biimpi 198 . . . . . . 7
3938anim1i 572 . . . . . 6 USGrph USGrph
40 nb3graprlem1 25179 . . . . . 6 USGrph Neighbors
4135, 39, 40syl2an 480 . . . . 5 USGrph Neighbors
4241bicomd 205 . . . 4 USGrph Neighbors
43 3anrot 990 . . . . . . 7
4443biimpri 210 . . . . . 6
45 tprot 4067 . . . . . . . . . 10
4645eqcomi 2460 . . . . . . . . 9
4746eqeq2i 2463 . . . . . . . 8
4847biimpi 198 . . . . . . 7
4948anim1i 572 . . . . . 6 USGrph USGrph
50 nb3graprlem1 25179 . . . . . 6 USGrph Neighbors
5144, 49, 50syl2an 480 . . . . 5 USGrph Neighbors
5251bicomd 205 . . . 4 USGrph Neighbors
5333, 42, 523anbi123d 1339 . . 3 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors
54533adant3 1028 . 2 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors
5531, 54bitrd 257 1 USGrph Neighbors Neighbors Neighbors
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  cpr 3970  ctp 3972  cop 3974   class class class wbr 4402   crn 4835  (class class class)co 6290   USGrph cusg 25057   Neighbors cnbgra 25145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-usgra 25060  df-nbgra 25148 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator