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Theorem nati 14857
Description: Naturality property of a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natrcl.1  |-  N  =  ( C Nat  D )
natixp.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( <. F ,  G >. N
<. K ,  L >. ) )
natixp.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
nati.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
nati.o  |-  .x.  =  (comp `  D )
nati.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
nati.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
nati.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
nati  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Y ) ( <.
( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) )  =  ( ( ( X L Y ) `
 R ) (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) )

Proof of Theorem nati
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natixp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( <. F ,  G >. N
<. K ,  L >. ) )
2 natrcl.1 . . . . 5  |-  N  =  ( C Nat  D )
3 natixp.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
4 nati.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
6 nati.o . . . . 5  |-  .x.  =  (comp `  D )
72natrcl 14852 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( <. F ,  G >. N <. K ,  L >. )  ->  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  /\  <. K ,  L >.  e.  ( C 
Func  D ) ) )
81, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D )  /\  <. K ,  L >.  e.  ( C 
Func  D ) ) )
98simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
10 df-br 4288 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
119, 10sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
128simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. K ,  L >.  e.  ( C  Func  D
) )
13 df-br 4288 . . . . . 6  |-  ( K ( C  Func  D
) L  <->  <. K ,  L >.  e.  ( C 
Func  D ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K ( C  Func  D ) L )
152, 3, 4, 5, 6, 11, 14isnat 14849 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
<. F ,  G >. N
<. K ,  L >. )  <-> 
( A  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) ( Hom  `  D
) ( K `  x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) ( ( A `  y
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( ( x G y ) `  f ) )  =  ( ( ( x L y ) `  f ) ( <.
( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) ) )
161, 15mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  X_ x  e.  B  (
( F `  x
) ( Hom  `  D
) ( K `  x ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) ( ( A `  y
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( ( x G y ) `  f ) )  =  ( ( ( x L y ) `  f ) ( <.
( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) ) )
1716simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. f  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 f ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) ) )
18 nati.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
19 nati.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  Y  e.  B )
21 nati.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
2221ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  R  e.  ( X H Y ) )
23 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  x  =  X )
24 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  y  =  Y )
2523, 24oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  (
x H y )  =  ( X H Y ) )
2622, 25eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  R  e.  ( x H y ) )
27 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  x  =  X )
2827fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
29 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  y  =  Y )
3029fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
3128, 30opeq12d 4062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  =  <. ( F `  X ) ,  ( F `  Y ) >. )
3229fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( K `  y )  =  ( K `  Y ) )
3331, 32oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) )  =  (
<. ( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) )
3429fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( A `  y )  =  ( A `  Y ) )
3527, 29oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
x G y )  =  ( X G Y ) )
36 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  f  =  R )
3735, 36fveq12d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
( x G y ) `  f )  =  ( ( X G Y ) `  R ) )
3833, 34, 37oveq123d 6107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
( A `  y
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( ( x G y ) `  f ) )  =  ( ( A `  Y ) ( <.
( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) ) )
3927fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( K `  x )  =  ( K `  X ) )
4028, 39opeq12d 4062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( K `  x ) >.  =  <. ( F `  X ) ,  ( K `  X ) >. )
4140, 32oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) )  =  (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) )
4227, 29oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
x L y )  =  ( X L Y ) )
4342, 36fveq12d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
( x L y ) `  f )  =  ( ( X L Y ) `  R ) )
4427fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  X ) )
4541, 43, 44oveq123d 6107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
( ( x L y ) `  f
) ( <. ( F `  x ) ,  ( K `  x ) >.  .x.  ( K `  y )
) ( A `  x ) )  =  ( ( ( X L Y ) `  R ) ( <.
( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) )
4638, 45eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y
)  /\  f  =  R )  ->  (
( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 f ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) )  <-> 
( ( A `  Y ) ( <.
( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) )  =  ( ( ( X L Y ) `
 R ) (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) ) )
4726, 46rspcdv 3071 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  =  X )  /\  y  =  Y )  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 f ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) )  ->  ( ( A `
 Y ) (
<. ( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) )  =  ( ( ( X L Y ) `
 R ) (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) ) )
4820, 47rspcimdv 3069 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A. y  e.  B  A. f  e.  (
x H y ) ( ( A `  y ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 f ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) )  ->  ( ( A `
 Y ) (
<. ( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) )  =  ( ( ( X L Y ) `
 R ) (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) ) )
4918, 48rspcimdv 3069 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) ( ( A `
 y ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  =  ( ( ( x L y ) `
 f ) (
<. ( F `  x
) ,  ( K `
 x ) >.  .x.  ( K `  y
) ) ( A `
 x ) )  ->  ( ( A `
 Y ) (
<. ( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) )  =  ( ( ( X L Y ) `
 R ) (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) ) )
5017, 49mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Y ) ( <.
( F `  X
) ,  ( F `
 Y ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( ( X G Y ) `
 R ) )  =  ( ( ( X L Y ) `
 R ) (
<. ( F `  X
) ,  ( K `
 X ) >.  .x.  ( K `  Y
) ) ( A `
 X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   X_cixp 7255   Basecbs 14166   Hom chom 14241  compcco 14242    Func cfunc 14756   Nat cnat 14843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-ixp 7256  df-func 14760  df-nat 14845
This theorem is referenced by:  fuccocl  14866  invfuc  14876  evlfcllem  15023  yonedalem3b  15081  yonedainv  15083
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