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Theorem natfval 15173
Description: Value of the function giving natural transformations between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
natfval.1  |-  N  =  ( C Nat  D )
natfval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
natfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
natfval.j  |-  J  =  ( Hom  `  D
)
natfval.o  |-  .x.  =  (comp `  D )
Assertion
Ref Expression
natfval  |-  N  =  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
Distinct variable groups:    f, a,
g, h, r, s, x, y    B, a, f, g, r, s, x, y    C, a, f, g, h, r, s, x, y    J, a, f, g, r, s    H, a, f, g, h, r, s    .x. , a,
f, g, r, s    D, a, f, g, h, r, s, x, y
Allowed substitution hints:    B( h)    .x. ( x, y, h)    H( x, y)    J( x, y, h)    N( x, y, f, g, h, s, r, a)

Proof of Theorem natfval
Dummy variables  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 natfval.1 . 2  |-  N  =  ( C Nat  D )
2 oveq12 6293 . . . . 5  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( t  Func  u
)  =  ( C 
Func  D ) )
3 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  t  =  C )
43fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( Base `  t
)  =  ( Base `  C ) )
5 natfval.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  C
)
64, 5syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( Base `  t
)  =  B )
76ixpeq1d 7481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  -> 
X_ x  e.  (
Base `  t )
( ( r `  x ) ( Hom  `  u ) ( s `
 x ) )  =  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) ( Hom  `  u ) ( s `
 x ) ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  u  =  D )
98fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( Hom  `  u
)  =  ( Hom  `  D ) )
10 natfval.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( Hom  `  D
)
119, 10syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( Hom  `  u
)  =  J )
1211oveqd 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( ( r `  x ) ( Hom  `  u ) ( s `
 x ) )  =  ( ( r `
 x ) J ( s `  x
) ) )
1312ixpeq2dv 7485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  -> 
X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) ( Hom  `  u ) ( s `
 x ) )  =  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) ) )
147, 13eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  -> 
X_ x  e.  (
Base `  t )
( ( r `  x ) ( Hom  `  u ) ( s `
 x ) )  =  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) ) )
153fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( Hom  `  t
)  =  ( Hom  `  C ) )
16 natfval.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
1715, 16syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( Hom  `  t
)  =  H )
1817oveqd 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( x ( Hom  `  t ) y )  =  ( x H y ) )
198fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  (comp `  u )  =  (comp `  D )
)
20 natfval.o . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  (comp `  D )
2119, 20syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  (comp `  u )  =  .x.  )
2221oveqd 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  u )
( s `  y
) )  =  (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) )
2322oveqd 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) ) )
2421oveqd 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( <. ( r `  x ) ,  ( s `  x )
>. (comp `  u )
( s `  y
) )  =  (
<. ( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) )
2524oveqd 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) )
2623, 25eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <-> 
( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
2718, 26raleqbidv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( A. h  e.  ( x ( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
286, 27raleqbidv 3072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  t
) A. h  e.  ( x ( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
296, 28raleqbidv 3072 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  t
) A. y  e.  ( Base `  t
) A. h  e.  ( x ( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  (
x H y ) ( ( a `  y ) ( <.
( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) ) )
3014, 29rabeqbidv 3108 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  t ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  u
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  t ) A. y  e.  ( Base `  t ) A. h  e.  ( x
( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
3130csbeq2dv 3835 . . . . . 6  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  t ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  u
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  t ) A. y  e.  ( Base `  t ) A. h  e.  ( x
( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
3231csbeq2dv 3835 . . . . 5  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  t ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  u
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  t ) A. y  e.  ( Base `  t ) A. h  e.  ( x
( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) }  =  [_ ( 1st `  f )  / 
r ]_ [_ ( 1st `  g )  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
332, 2, 32mpt2eq123dv 6343 . . . 4  |-  ( ( t  =  C  /\  u  =  D )  ->  ( f  e.  ( t  Func  u ) ,  g  e.  (
t  Func  u )  |-> 
[_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  t ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  u
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  t ) A. y  e.  ( Base `  t ) A. h  e.  ( x
( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )  =  ( f  e.  ( C 
Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
34 df-nat 15170 . . . 4  |- Nat  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  ( f  e.  ( t  Func  u ) ,  g  e.  ( t  Func  u
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  ( Base `  t ) ( ( r `  x ) ( Hom  `  u
) ( s `  x ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  t ) A. y  e.  ( Base `  t ) A. h  e.  ( x
( Hom  `  t ) y ) ( ( a `  y ) ( <. ( r `  x ) ,  ( r `  y )
>. (comp `  u )
( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.
(comp `  u )
( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
35 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
3635, 35mpt2ex 6860 . . . 4  |-  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )  e.  _V
3733, 34, 36ovmpt2a 6417 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Nat  D )  =  ( f  e.  ( C  Func  D
) ,  g  e.  ( C  Func  D
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
3834mpt2ndm0 6500 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Nat  D )  =  (/) )
39 funcrcl 15090 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
4039con3i 135 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
4140eq0rdv 3820 . . . . . 6  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
42 mpt2eq12 6341 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  Func  D
)  =  (/)  /\  ( C  Func  D )  =  (/) )  ->  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )  =  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
4341, 41, 42syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )  =  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
44 mpt20 6351 . . . . 5  |-  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )  =  (/)
4543, 44syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )  =  (/) )
4638, 45eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Nat  D )  =  ( f  e.  ( C  Func  D
) ,  g  e.  ( C  Func  D
)  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } ) )
4737, 46pm2.61i 164 . 2  |-  ( C Nat 
D )  =  ( f  e.  ( C 
Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f
)  /  r ]_ [_ ( 1st `  g
)  /  s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  (
( r `  x
) J ( s `
 x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
481, 47eqtri 2496 1  |-  N  =  ( f  e.  ( C  Func  D ) ,  g  e.  ( C  Func  D )  |->  [_ ( 1st `  f )  /  r ]_ [_ ( 1st `  g )  / 
s ]_ { a  e.  X_ x  e.  B  ( ( r `  x ) J ( s `  x ) )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. h  e.  ( x H y ) ( ( a `
 y ) (
<. ( r `  x
) ,  ( r `
 y ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( ( x ( 2nd `  f
) y ) `  h ) )  =  ( ( ( x ( 2nd `  g
) y ) `  h ) ( <.
( r `  x
) ,  ( s `
 x ) >.  .x.  ( s `  y
) ) ( a `
 x ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   [_csb 3435   (/)c0 3785   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   X_cixp 7469   Basecbs 14490   Hom chom 14566  compcco 14567   Catccat 14919    Func cfunc 15081   Nat cnat 15168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-ixp 7470  df-func 15085  df-nat 15170
This theorem is referenced by:  isnat  15174  natffn  15176  natrcl  15177  wunnat  15183  natpropd  15203
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