Theorem nalset 4553

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
nalset	|- -. E. x A. y y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexn 1724	. 2 |- ( A. x E. y -. y e. x <-> -. E. x A. y y e. x )
2		ax-sep 4538	. . 3 |- E. y A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) )
3		elequ1 1904	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( z e. y <-> y e. y ) )
4		elequ1 1904	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x <-> y e. x ) )
5		elequ1 1904	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. z ) )
6		elequ2 1911	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
7	5, 6	bitrd 261	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. y ) )
8	7	notbid 300	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z e. z <-> -. y e. y ) )
9	4, 8	anbi12d 722	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( z e. x /\ -. z e. z ) <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
10	3, 9	bibi12d 327	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) <-> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) ) )
11	10	spv 2114	. . . 4 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
12		pclem6 946	. . . 4 |- ( ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) -> -. y e. x )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> -. y e. x )
14	2, 13	eximii 1719	. 2 |- E. y -. y e. x
15	1, 14	mpgbi 1682	1 |- -. E. x A. y y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-sep 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-ex 1674

This theorem is referenced by:  vprc  4554  kmlem2  8606