MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nalset Structured version   Unicode version

Theorem nalset 4574
Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexn 1669 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-sep 4560 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
3 elequ1 1826 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
4 elequ1 1826 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ1 1826 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6 elequ2 1828 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
75, 6bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
87notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
94, 8anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
103, 9bibi12d 319 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1110spv 2016 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
12 pclem6 928 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
142, 13eximii 1663 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
151, 14mpgbi 1626 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396   E.wex 1617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-sep 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-ex 1618  df-nf 1622
This theorem is referenced by:  vprc  4575  kmlem2  8522
  Copyright terms: Public domain W3C validator