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Theorem nalset 4300
Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexn 1586 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-sep 4290 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
3 elequ1 1724 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
4 elequ1 1724 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ1 1724 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6 elequ2 1726 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
75, 6bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
87notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
94, 8anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
103, 9bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1110spv 1963 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
12 pclem6 897 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
142, 13eximii 1584 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
151, 14mpgbi 1555 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547
This theorem is referenced by:  vprc  4301  kmlem2  7987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-sep 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1548  df-nf 1551
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