Theorem nalset 3448

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30.

Assertion

Ref	Expression
nalset	|- -. E.xA.y y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nalset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexn 1391	. 2 |- (A.xE.y -. y e. x <-> -. E.xA.y y e. x)
2		visset 2295	. . . 4 |- x e. _V
3	2	zfauscl 3440	. . 3 |- E.yA.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z))
4		elequ1 1496	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. y <-> y e. y))
5		elequ1 1496	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. x <-> y e. x))
6		elequ1 1496	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. z))
7		elequ2 1497	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (y e. z <-> y e. y))
8	6, 7	bitrd 587	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. y))
9	8	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (-. z e. z <-> -. y e. y))
10	5, 9	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (z = y -> ((z e. x /\ -. z e. z) <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
11	4, 10	bibi12d 691	. . . . . 6 |- (z = y -> ((z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) <-> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y))))
12	11	a4v 1649	. . . . 5 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
13		pclem6 813	. . . . 5 |- ((y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)) -> -. y e. x)
14	12, 13	syl 12	. . . 4 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> -. y e. x)
15	14	eximi 1387	. . 3 |- (E.yA.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> E.y -. y e. x)
16	3, 15	ax-mp 7	. 2 |- E.y -. y e. x
17	1, 16	mpgbi 1333	1 |- -. E.xA.y y e. x

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  vprc 3449  kmlem2 5928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-ext 1865  ax-sep 3438

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294

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