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Theorem nacsfix 35554
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Distinct variable groups:    z, C, y    y, F, z    z, X, y    x, y, z, F
Allowed substitution hints:    C( x)    X( x)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables  a 
b  c  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 5888 . . . . 5  |-  ( F `
 z )  C_  U.
ran  F
2 simplrr 771 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  =  U. ran  F )
31, 2syl5sseqr 3481 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  C_  ( F `  y )
)
4 simpll3 1049 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
5 simplrl 770 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  y  e.  NN0 )
6 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)
7 incssnn0 35553 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
84, 5, 6, 7syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
93, 8eqssd 3449 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
109ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
11 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  ran  F  C_  C )
12113ad2ant2 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  C_  C )
13 elpw2g 4566 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
14133ad2ant1 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
1512, 14mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
~P C )
16 elex 3054 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  e.  ~P C  ->  ran  F  e.  _V )
1715, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
_V )
18 ffn 5728 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  F  Fn  NN0 )
19183ad2ant2 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  F  Fn  NN0 )
20 0nn0 10884 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
21 fnfvelrn 6019 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  ran  F
)
2219, 20, 21sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( F `  0 )  e. 
ran  F )
23 ne0i 3737 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  =/=  (/) )
25 nn0re 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
2625ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
27 nn0re 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2827ad2antll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
29 simplrr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  NN0 )
30 simpll3 1049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
31 simplrl 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  a  e.  NN0 )
32 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
33 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
34 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
3532, 33, 34syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
3635biimpar 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  a  <_  b )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  a ) )
3736adantll 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)
38 incssnn0 35553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
3930, 31, 37, 38syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
40 ssequn1 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  a ) 
C_  ( F `  b )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
4139, 40sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
42 eqimss 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  b ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
)
44 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( F `  c )  =  ( F `  b ) )
4544sseq2d 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
) )
4645rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  b ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
4729, 43, 46syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
48 simplrl 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  NN0 )
49 simpll3 1049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
50 simplrr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  b  e.  NN0 )
51 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
5233, 32, 51syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
5352biimpar 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  b  <_  a )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  b ) )
5453adantll 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)
55 incssnn0 35553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  b  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
5649, 50, 54, 55syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
57 ssequn2 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  b ) 
C_  ( F `  a )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
5856, 57sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
59 eqimss 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  a )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  a ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
)
61 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( F `  c )  =  ( F `  a ) )
6261sseq2d 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
) )
6362rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  a ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
6448, 60, 63syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
6526, 28, 47, 64lecasei 9740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
6665ralrimivva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
67 uneq1 3581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
y  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  z ) )
6867sseq1d 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
( y  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w
) )
6968rexbidv 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
7069ralbidv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
7170ralrn 6025 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. z  e. 
ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
72 uneq2 3582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
7372sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  w
) )
7473rexbidv 2901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
7574ralrn 6025 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. w  e. 
ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
76 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7776rexrn 6024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( E. w  e.  ran  F
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7877ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. b  e.  NN0  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w 
<-> 
A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7975, 78bitrd 257 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. c  e. 
NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
8079ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. a  e.  NN0  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w 
<-> 
A. a  e.  NN0  A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
8171, 80bitrd 257 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
8219, 81syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
8366, 82mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z )  C_  w )
84 isipodrs 16407 . . . . 5  |-  ( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  <->  ( ran  F  e.  _V  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w ) )
8517, 24, 83, 84syl3anbrc 1192 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset )
86 isnacs3 35552 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) ) )
8786simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
88873ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
89 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
(toInc `  y )  =  (toInc `  ran  F ) )
9089eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( (toInc `  y
)  e. Dirset  <->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset ) )
91 unieq 4206 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  ->  U. y  =  U. ran  F )
92 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
y  =  ran  F
)
9391, 92eleq12d 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( U. y  e.  y  <->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
9490, 93imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y )  <-> 
( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e.  ran  F ) ) )
9594rspcva 3148 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  ~P C  /\  A. y  e. 
~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
9615, 88, 95syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
9785, 96mpd 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  U. ran  F  e.  ran  F )
98 fvelrnb 5912 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
9919, 98syl 17 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
10097, 99mpbid 214 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F )
10110, 100reximddv 2863 1  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    <_ cle 9676   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159  Moorecmre 15488  Dirsetcdrs 16172  toInccipo 16397  NoeACScnacs 35544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ocomp 15211  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-drs 16174  df-poset 16191  df-ipo 16398  df-nacs 35545
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