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Theorem nacsfix 30563
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Distinct variable groups:    z, C, y    y, F, z    z, X, y    x, y, z, F
Allowed substitution hints:    C( x)    X( x)

Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables  a 
b  c  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  ran  F  C_  C )
213ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  C_  C )
3 elpw2g 4616 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
433ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( ran  F  e.  ~P C  <->  ran  F  C_  C ) )
52, 4mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
~P C )
6 elex 3127 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  e.  ~P C  ->  ran  F  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  e. 
_V )
8 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN0 --> C  ->  F  Fn  NN0 )
983ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  F  Fn  NN0 )
10 0nn0 10822 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
11 fnfvelrn 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  ran  F
)
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( F `  0 )  e. 
ran  F )
13 ne0i 3796 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ran  F  =/=  (/) )
15 nn0re 10816 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
1615ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
17 nn0re 10816 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
1817ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
19 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  NN0 )
20 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
21 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  a  e.  NN0 )
22 nn0z 10899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
23 nn0z 10899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
24 eluz 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( b  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  b ) )
2625biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  a  <_  b )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  a ) )
2726adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)
28 incssnn0 30562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  ( ZZ>= `  a )
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
2920, 21, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  b )
)
30 ssequn1 3679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  a ) 
C_  ( F `  b )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
3129, 30sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) )
32 eqimss 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  b ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
)
34 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( F `  c )  =  ( F `  b ) )
3534sseq2d 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  b )
) )
3635rspcev 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  b ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
3719, 33, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  a  <_  b
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
38 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  NN0 )
39 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
40 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  b  e.  NN0 )
41 eluz 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
4223, 22, 41syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( a  e.  (
ZZ>= `  b )  <->  b  <_  a ) )
4342biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  b  <_  a )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  b ) )
4443adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)
45 incssnn0 30562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  b  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  b )
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
4639, 40, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  a )
)
47 ssequn2 3682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  b ) 
C_  ( F `  a )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
4846, 47sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  =  ( F `  a ) )
49 eqimss 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) )  =  ( F `  a )  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  a ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
)
51 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  ( F `  c )  =  ( F `  a ) )
5251sseq2d 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  a )
) )
5352rspcev 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  a ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
5438, 50, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  b  <_  a
)  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
5516, 18, 37, 54lecasei 9702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
5655ralrimivva 2888 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
57 uneq1 3656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
y  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  z ) )
5857sseq1d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  (
( y  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w
) )
5958rexbidv 2978 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
6059ralbidv 2906 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z
)  C_  w  <->  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
6160ralrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. z  e. 
ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w ) )
62 uneq2 3657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  z )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
6362sseq1d 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  w
) )
6463rexbidv 2978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  b )  ->  ( E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z
)  C_  w  <->  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
6564ralrn 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. w  e. 
ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w ) )
66 sseq2 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
6766rexrn 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( E. w  e.  ran  F
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  w  <->  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
6867ralbidv 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. b  e.  NN0  E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  w 
<-> 
A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6965, 68bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a
)  u.  z ) 
C_  w  <->  A. b  e.  NN0  E. c  e. 
NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7069ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. a  e.  NN0  A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( ( F `  a )  u.  z )  C_  w 
<-> 
A. a  e.  NN0  A. b  e.  NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7161, 70bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
729, 71syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w  <->  A. a  e.  NN0  A. b  e. 
NN0  E. c  e.  NN0  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
7356, 72mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z )  C_  w )
74 isipodrs 15665 . . . . 5  |-  ( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  <->  ( ran  F  e.  _V  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  A. y  e.  ran  F A. z  e.  ran  F E. w  e.  ran  F ( y  u.  z ) 
C_  w ) )
757, 14, 73, 74syl3anbrc 1180 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset )
76 isnacs3 30561 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) ) )
7776simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (NoeACS `  X
)  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
78773ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )
79 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
(toInc `  y )  =  (toInc `  ran  F ) )
8079eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( (toInc `  y
)  e. Dirset  <->  (toInc `  ran  F )  e. Dirset ) )
81 unieq 4259 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  ->  U. y  =  U. ran  F )
82 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  F  -> 
y  =  ran  F
)
8381, 82eleq12d 2549 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( U. y  e.  y  <->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
8480, 83imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  F  -> 
( ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y )  <-> 
( (toInc `  ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e.  ran  F ) ) )
8584rspcva 3217 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  ~P C  /\  A. y  e. 
~P  C ( (toInc `  y )  e. Dirset  ->  U. y  e.  y ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
865, 78, 85syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( (toInc ` 
ran  F )  e. Dirset  ->  U. ran  F  e. 
ran  F ) )
8775, 86mpd 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  U. ran  F  e.  ran  F )
88 fvelrnb 5921 . . . 4  |-  ( F  Fn  NN0  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
899, 88syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( U. ran  F  e.  ran  F  <->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )
9087, 89mpbid 210 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  ( F `  y )  =  U. ran  F )
91 fvssunirn 5895 . . . . . . 7  |-  ( F `
 z )  C_  U.
ran  F
92 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  =  U. ran  F )
9391, 92syl5sseqr 3558 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  C_  ( F `  y )
)
94 simpll3 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
95 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  y  e.  NN0 )
96 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)
97 incssnn0 30562 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  NN0  ( F `  x ) 
C_  ( F `  ( x  +  1
) )  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  z )
)
9993, 98eqssd 3526 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `  x )  C_  ( F `  (
x  +  1 ) ) )  /\  (
y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F
) )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
10099ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  ( y  e.  NN0  /\  ( F `  y )  =  U. ran  F ) )  ->  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
101100expr 615 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( F `  y
)  =  U. ran  F  ->  A. z  e.  (
ZZ>= `  y ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
102101reximdva 2942 . 2  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  ( E. y  e.  NN0  ( F `
 y )  = 
U. ran  F  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) ) )
10390, 102mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  (NoeACS `  X )  /\  F : NN0 --> C  /\  A. x  e.  NN0  ( F `
 x )  C_  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   ran crn 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094  Moorecmre 14854  Dirsetcdrs 15431  toInccipo 15655  NoeACScnacs 30553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ocomp 14593  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-preset 15432  df-drs 15433  df-poset 15450  df-ipo 15656  df-nacs 30554
This theorem is referenced by:  hbt  30998
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