Users' Mathboxes Mathbox for Rodolfo Medina < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  n0el Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem n0el 32434
Description: Negated membership of the empty set in another class. (Contributed by Rodolfo Medina, 25-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
n0el  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x  e.  A  E. u  u  e.  x )
Distinct variable groups:    x, A    x, u
Allowed substitution hint:    A( u)

Proof of Theorem n0el
StepHypRef Expression
1 df-ral 2741 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  A. u  -.  u  e.  x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x ) )
2 df-ex 1667 . . 3  |-  ( E. u  u  e.  x  <->  -. 
A. u  -.  u  e.  x )
32ralbii 2803 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. u  u  e.  x  <->  A. x  e.  A  -.  A. u  -.  u  e.  x )
4 alnex 1668 . . 3  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
)  <->  -.  E. x
( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
5 imnan 428 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
65albii 1694 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x
)  <->  A. x  -.  (
x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
7 0el 3716 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  E. x  e.  A  A. u  -.  u  e.  x )
8 df-rex 2742 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. u  -.  u  e.  x  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
) )
97, 8bitri 257 . . . 4  |-  ( (/)  e.  A  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
) )
109notbii 302 . . 3  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  -.  E. x
( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
114, 6, 103bitr4ri 286 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x
( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x )
)
121, 3, 113bitr4ri 286 1  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x  e.  A  E. u  u  e.  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1445   E.wex 1666    e. wcel 1890   A.wral 2736   E.wrex 2737   (/)c0 3698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-v 3014  df-dif 3374  df-nul 3699
This theorem is referenced by:  prter2  32454
  Copyright terms: Public domain W3C validator