Users' Mathboxes Mathbox for Rodolfo Medina < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  n0el Structured version   Unicode version

Theorem n0el 30431
Description: Negated membership of the empty set in another class. (Contributed by Rodolfo Medina, 25-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
n0el  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x  e.  A  E. u  u  e.  x )
Distinct variable groups:    x, A    x, u
Allowed substitution hint:    A( u)

Proof of Theorem n0el
StepHypRef Expression
1 df-ral 2819 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  A. u  -.  u  e.  x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x ) )
2 df-ex 1597 . . 3  |-  ( E. u  u  e.  x  <->  -. 
A. u  -.  u  e.  x )
32ralbii 2895 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. u  u  e.  x  <->  A. x  e.  A  -.  A. u  -.  u  e.  x )
4 alnex 1598 . . 3  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
)  <->  -.  E. x
( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
5 imnan 422 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
65albii 1620 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x
)  <->  A. x  -.  (
x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
7 0el 3802 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  E. x  e.  A  A. u  -.  u  e.  x )
8 df-rex 2820 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. u  -.  u  e.  x  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
) )
97, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( (/)  e.  A  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x
) )
109notbii 296 . . 3  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  -.  E. x
( x  e.  A  /\  A. u  -.  u  e.  x ) )
114, 6, 103bitr4ri 278 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x
( x  e.  A  ->  -.  A. u  -.  u  e.  x )
)
121, 3, 113bitr4ri 278 1  |-  ( -.  (/)  e.  A  <->  A. x  e.  A  E. u  u  e.  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   (/)c0 3785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-dif 3479  df-nul 3786
This theorem is referenced by:  prter2  30453
  Copyright terms: Public domain W3C validator