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Theorem mzpsubst 35502
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial.  G is expected to depend on  y and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Distinct variable groups:    x, W, y    x, F    x, V, y    x, G
Allowed substitution hints:    F( y)    G( y)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  W  e.  _V )
2 elfvex 5852 . . 3  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
323ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  V  e.  _V )
4 simp3 1007 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
5 simp2 1006 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
7 simpll3 1046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
8 simpll2 1045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
9 mzpf 35490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  G :
( ZZ  ^m  W
) --> ZZ )
109ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  (mzPoly `  W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( G `  x )  e.  ZZ )
1110expcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1211ralimdv 2775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1312imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
14 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )
1514fmpt 6002 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
1613, 15sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) : V --> ZZ )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ )
18 zex 10897 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
19 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  V  e.  _V )
20 elmapg 7440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2118, 19, 20sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2217, 21mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
236, 7, 8, 22syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
24 vex 3025 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
2524fvconst2 6079 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  b )
2623, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  b )
2726mpteq2dva 4453 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b ) )
28 mzpconstmpt 35494 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b )  e.  (mzPoly `  W ) )
29283ad2antl1 1167 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  b )  e.  (mzPoly `  W
) )
3027, 29eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
31 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
32 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
33 simpll2 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
3431, 32, 33, 22syl21anc 1263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
35 fveq1 5824 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  -> 
( c `  b
)  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
36 eqid 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )
37 fvex 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  e.  _V
3835, 36, 37fvmpt 5908 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
3934, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b ) )
40 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  b  e.  V
)
41 fvex 5835 . . . . . . . 8  |-  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V
42 csbeq1 3341 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  [_ a  /  y ]_ G  =  [_ b  /  y ]_ G )
4342fveq1d 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
44 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
( G `  x
)
45 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y [_ a  /  y ]_ G
46 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
x
4745, 46nffv 5832 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( [_ a  /  y ]_ G `  x )
48 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  G  =  [_ a  /  y ]_ G )
4948fveq1d 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  x )  =  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5044, 47, 49cbvmpt 4458 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5143, 50fvmptg 5906 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  V  /\  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V )  -> 
( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  =  (
[_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5240, 41, 51sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b )  =  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) )
5339, 52eqtrd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5453mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) ) )
55 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  b  e.  V )
56 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
57 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ G
5857nfel1 2583 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
59 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  G  =  [_ b  /  y ]_ G )
6059eleq1d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  <->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6158, 60rspc 3119 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  [_ b  / 
y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6255, 56, 61sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
)
63 mzpf 35490 . . . . . . 7  |-  ( [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ 
^m  W ) --> ZZ )
6462, 63syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ  ^m  W ) --> ZZ )
6564feqmptd 5878 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) ) )
6654, 65eqtr4d 2465 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  = 
[_ b  /  y ]_ G )
6766, 62eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
68 simp2l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
69 ffn 5689 . . . . . 6  |-  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7068, 69syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
71 simp3l 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
72 ffn 5689 . . . . . 6  |-  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7371, 72syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
74 simp13 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
75 simp12 1036 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  V  e.  _V )
76 simplll 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
77 simpllr 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
78 ovex 6277 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
80 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )
81 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
8280, 81, 12sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
8382, 15sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
84 simplrr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  V  e.  _V )
8518, 84, 20sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ ) )
8683, 85mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
87 fnfvof 6503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
8876, 77, 79, 86, 87syl22anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
8988mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
9070, 73, 74, 75, 89syl22anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
91 simp2r 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
92 simp3r 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
93 mzpaddmpt 35495 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9491, 92, 93syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9590, 94eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
96 fnfvof 6503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  oF  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9776, 77, 79, 86, 96syl22anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  oF  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9897mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  oF  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
9970, 73, 74, 75, 98syl22anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  (
c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
100 mzpmulmpt 35496 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
10191, 92, 100syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
10299, 101eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
103 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
104103mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
105104eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
106 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
107106mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )
108107eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
)  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
109 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
110109mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
111110eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
112 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
113112mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
114113eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
115 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  oF  +  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  oF  +  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
116115mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  oF  +  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
117116eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  ( b  oF  +  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
118 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  oF  x.  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  oF  x.  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
119118mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  oF  x.  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
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) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
120119eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  ( b  oF  x.  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  x.  c
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 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
121 fveq1 5824 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( F `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
122121mpteq2dv 4454 . . . 4  |-  ( a  =  F  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
123122eleq1d 2490 . . 3  |-  ( a  =  F  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
12430, 67, 95, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123mzpindd 35500 . 2  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  F  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
1251, 3, 4, 5, 124syl31anc 1267 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022   [_csb 3338   {csn 3941    |-> cmpt 4425    X. cxp 4794    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    oFcof 6487    ^m cmap 7427    + caddc 9493    x. cmul 9495   ZZcz 10888  mzPolycmzp 35476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-mzpcl 35477  df-mzp 35478
This theorem is referenced by:  mzprename  35503
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