Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubst Structured version   Unicode version

Theorem mzpsubst 35502
 Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. is expected to depend on and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst mzPoly mzPoly mzPoly
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . 2 mzPoly mzPoly
2 elfvex 5852 . . 3 mzPoly
323ad2ant2 1027 . 2 mzPoly mzPoly
4 simp3 1007 . 2 mzPoly mzPoly mzPoly
5 simp2 1006 . 2 mzPoly mzPoly mzPoly
6 simpr 462 . . . . . . 7 mzPoly
7 simpll3 1046 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
8 simpll2 1045 . . . . . . 7 mzPoly
9 mzpf 35490 . . . . . . . . . . . . . 14 mzPoly
109ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . 13 mzPoly
1110expcom 436 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
1211ralimdv 2775 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
1312imp 430 . . . . . . . . . 10 mzPoly
14 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11
1514fmpt 6002 . . . . . . . . . 10
1613, 15sylib 199 . . . . . . . . 9 mzPoly
1716adantr 466 . . . . . . . 8 mzPoly
18 zex 10897 . . . . . . . . 9
19 simpr 462 . . . . . . . . 9 mzPoly
20 elmapg 7440 . . . . . . . . 9
2118, 19, 20sylancr 667 . . . . . . . 8 mzPoly
2217, 21mpbird 235 . . . . . . 7 mzPoly
236, 7, 8, 22syl21anc 1263 . . . . . 6 mzPoly
24 vex 3025 . . . . . . 7
2524fvconst2 6079 . . . . . 6
2623, 25syl 17 . . . . 5 mzPoly
2726mpteq2dva 4453 . . . 4 mzPoly
28 mzpconstmpt 35494 . . . . 5 mzPoly
29283ad2antl1 1167 . . . 4 mzPoly mzPoly
3027, 29eqeltrd 2506 . . 3 mzPoly mzPoly
31 simpr 462 . . . . . . . . 9 mzPoly
32 simpll3 1046 . . . . . . . . 9 mzPoly mzPoly
33 simpll2 1045 . . . . . . . . 9 mzPoly
3431, 32, 33, 22syl21anc 1263 . . . . . . . 8 mzPoly
35 fveq1 5824 . . . . . . . . 9
36 eqid 2428 . . . . . . . . 9
37 fvex 5835 . . . . . . . . 9
3835, 36, 37fvmpt 5908 . . . . . . . 8
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 mzPoly
40 simplr 760 . . . . . . . 8 mzPoly
41 fvex 5835 . . . . . . . 8
42 csbeq1 3341 . . . . . . . . . 10
4342fveq1d 5827 . . . . . . . . 9
44 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10
45 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . . 11
46 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11
4745, 46nffv 5832 . . . . . . . . . 10
48 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . . 11
4948fveq1d 5827 . . . . . . . . . 10
5044, 47, 49cbvmpt 4458 . . . . . . . . 9
5143, 50fvmptg 5906 . . . . . . . 8
5240, 41, 51sylancl 666 . . . . . . 7 mzPoly
5339, 52eqtrd 2462 . . . . . 6 mzPoly
5453mpteq2dva 4453 . . . . 5 mzPoly
55 simpr 462 . . . . . . . 8 mzPoly
56 simpl3 1010 . . . . . . . 8 mzPoly mzPoly
57 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . 10
5857nfel1 2583 . . . . . . . . 9 mzPoly
59 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . 10
6059eleq1d 2490 . . . . . . . . 9 mzPoly mzPoly
6158, 60rspc 3119 . . . . . . . 8 mzPoly mzPoly
6255, 56, 61sylc 62 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
63 mzpf 35490 . . . . . . 7 mzPoly
6462, 63syl 17 . . . . . 6 mzPoly
6564feqmptd 5878 . . . . 5 mzPoly
6654, 65eqtr4d 2465 . . . 4 mzPoly
6766, 62eqeltrd 2506 . . 3 mzPoly mzPoly
68 simp2l 1031 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
69 ffn 5689 . . . . . 6
7068, 69syl 17 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly
71 simp3l 1033 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
72 ffn 5689 . . . . . 6
7371, 72syl 17 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly
74 simp13 1037 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
75 simp12 1036 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly
76 simplll 766 . . . . . . 7 mzPoly
77 simpllr 767 . . . . . . 7 mzPoly
78 ovex 6277 . . . . . . . 8
7978a1i 11 . . . . . . 7 mzPoly
80 simpr 462 . . . . . . . . . 10 mzPoly
81 simplrl 768 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
8280, 81, 12sylc 62 . . . . . . . . 9 mzPoly
8382, 15sylib 199 . . . . . . . 8 mzPoly
84 simplrr 769 . . . . . . . . 9 mzPoly
8518, 84, 20sylancr 667 . . . . . . . 8 mzPoly
8683, 85mpbird 235 . . . . . . 7 mzPoly
87 fnfvof 6503 . . . . . . 7
8876, 77, 79, 86, 87syl22anc 1265 . . . . . 6 mzPoly
8988mpteq2dva 4453 . . . . 5 mzPoly
9070, 73, 74, 75, 89syl22anc 1265 . . . 4 mzPoly mzPoly mzPoly
91 simp2r 1032 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
92 simp3r 1034 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
93 mzpaddmpt 35495 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly
9491, 92, 93syl2anc 665 . . . 4 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
9590, 94eqeltrd 2506 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
96 fnfvof 6503 . . . . . . 7
9776, 77, 79, 86, 96syl22anc 1265 . . . . . 6 mzPoly
9897mpteq2dva 4453 . . . . 5 mzPoly
9970, 73, 74, 75, 98syl22anc 1265 . . . 4 mzPoly mzPoly mzPoly
100 mzpmulmpt 35496 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly
10191, 92, 100syl2anc 665 . . . 4 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
10299, 101eqeltrd 2506 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
103 fveq1 5824 . . . . 5
104103mpteq2dv 4454 . . . 4
105104eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
106 fveq1 5824 . . . . 5
107106mpteq2dv 4454 . . . 4
108107eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
109 fveq1 5824 . . . . 5
110109mpteq2dv 4454 . . . 4
111110eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
112 fveq1 5824 . . . . 5
113112mpteq2dv 4454 . . . 4
114113eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
115 fveq1 5824 . . . . 5
116115mpteq2dv 4454 . . . 4
117116eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
118 fveq1 5824 . . . . 5
119118mpteq2dv 4454 . . . 4
120119eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
121 fveq1 5824 . . . . 5
122121mpteq2dv 4454 . . . 4
123122eleq1d 2490 . . 3 mzPoly mzPoly
12430, 67, 95, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123mzpindd 35500 . 2 mzPoly mzPoly mzPoly
1251, 3, 4, 5, 124syl31anc 1267 1 mzPoly mzPoly mzPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  cvv 3022  csb 3338  csn 3941   cmpt 4425   cxp 4794   wfn 5539  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249   cof 6487   cmap 7427   caddc 9493   cmul 9495  cz 10888  mzPolycmzp 35476 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-mzpcl 35477  df-mzp 35478 This theorem is referenced by:  mzprename  35503
 Copyright terms: Public domain W3C validator