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Theorem mzpsubst 30649
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial.  G is expected to depend on  y and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Distinct variable groups:    x, W, y    x, F    x, V, y    x, G
Allowed substitution hints:    F( y)    G( y)

Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  W  e.  _V )
2 elfvex 5879 . . 3  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
323ad2ant2 1017 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  V  e.  _V )
4 simp3 997 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
5 simp2 996 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
7 simpll3 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
8 simpll2 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
9 mzpf 30636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  G :
( ZZ  ^m  W
) --> ZZ )
109ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  (mzPoly `  W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( G `  x )  e.  ZZ )
1110expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1211ralimdv 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ ) )
1312imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
14 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )
1514fmpt 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
1613, 15sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) : V --> ZZ )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ )
18 zex 10874 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
19 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  V  e.  _V )
20 elmapg 7431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2118, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
)  <->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ ) )
2217, 21mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  V  e.  _V )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
236, 7, 8, 22syl21anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
24 vex 3096 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
2524fvconst2 6107 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  b )
2623, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  b )
2726mpteq2dva 4519 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b ) )
28 mzpconstmpt 30640 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  b )  e.  (mzPoly `  W ) )
29283ad2antl1 1157 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  b )  e.  (mzPoly `  W
) )
3027, 29eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { b } ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
32 simpll3 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
33 simpll2 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  V  e.  _V )
3431, 32, 33, 22syl21anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ  ^m  V
) )
35 fveq1 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  -> 
( c `  b
)  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
36 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) )  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )
37 fvex 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  e.  _V
3835, 36, 37fvmpt 5937 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V )  -> 
( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b ) )
3934, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b ) )
40 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  b  e.  V
)
41 fvex 5862 . . . . . . . 8  |-  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V
42 csbeq1 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  [_ a  /  y ]_ G  =  [_ b  /  y ]_ G )
4342fveq1d 5854 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
44 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
( G `  x
)
45 nfcsb1v 3433 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y [_ a  /  y ]_ G
46 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
x
4745, 46nffv 5859 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( [_ a  /  y ]_ G `  x )
48 csbeq1a 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  G  =  [_ a  /  y ]_ G )
4948fveq1d 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  x )  =  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5044, 47, 49cbvmpt 4523 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( [_ a  /  y ]_ G `  x ) )
5143, 50fvmptg 5935 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  V  /\  ( [_ b  /  y ]_ G `  x )  e.  _V )  -> 
( ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) `  b )  =  (
[_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5240, 41, 51sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) `
 b )  =  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) )
5339, 52eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  b  e.  V )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) )
5453mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( [_ b  / 
y ]_ G `  x
) ) )
55 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  b  e.  V )
56 simpl3 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
57 nfcsb1v 3433 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ G
5857nfel1 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
59 csbeq1a 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  G  =  [_ b  /  y ]_ G )
6059eleq1d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  ( G  e.  (mzPoly `  W
)  <->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6158, 60rspc 3188 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  ->  [_ b  / 
y ]_ G  e.  (mzPoly `  W ) ) )
6255, 56, 61sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )
)
63 mzpf 30636 . . . . . . 7  |-  ( [_ b  /  y ]_ G  e.  (mzPoly `  W )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ 
^m  W ) --> ZZ )
6462, 63syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G : ( ZZ  ^m  W ) --> ZZ )
6564feqmptd 5907 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  [_ b  /  y ]_ G  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( [_ b  /  y ]_ G `  x ) ) )
6654, 65eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  = 
[_ b  /  y ]_ G )
6766, 62eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
68 simp2l 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
69 ffn 5717 . . . . . 6  |-  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7068, 69syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
71 simp3l 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
72 ffn 5717 . . . . . 6  |-  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
7371, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )
74 simp13 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
) )
75 simp12 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  V  e.  _V )
76 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  b  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
77 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  c  Fn  ( ZZ  ^m  V
) )
78 ovex 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
80 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )
81 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )
8280, 81, 12sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  A. y  e.  V  ( G `  x )  e.  ZZ )
8382, 15sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) : V --> ZZ )
84 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  V  e.  _V )
8518, 84, 20sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) : V --> ZZ ) )
8683, 85mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ZZ 
^m  V ) )
87 fnfvof 6534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
8876, 77, 79, 86, 87syl22anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  +  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
8988mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
9070, 73, 74, 75, 89syl22anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
91 simp2r 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
92 simp3r 1024 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
93 mzpaddmpt 30641 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9491, 92, 93syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  +  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
9590, 94eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
96 fnfvof 6534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( ZZ  ^m  V )  e.  _V  /\  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) )  e.  ( ZZ  ^m  V ) ) )  ->  (
( b  oF  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9776, 77, 79, 86, 96syl22anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V
)  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )  /\  V  e.  _V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  ->  (
( b  oF  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  x.  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) ) )
9897mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( ( ( b  Fn  ( ZZ  ^m  V )  /\  c  Fn  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W
)  /\  V  e.  _V ) )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b  oF  x.  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) ) )
9970, 73, 74, 75, 98syl22anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  (
c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) ) )
100 mzpmulmpt 30642 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( c `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
10191, 92, 100syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  x.  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
10299, 101eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  ( b : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  /\  ( c : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  x.  c
) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
103 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
104103mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
105104eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ b } )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { b } ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
106 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) )  =  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( c `  b
) ) `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
107106mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) ) )
108107eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  ( c  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( c `  b ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
)  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( c `
 b ) ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
109 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( b `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
110109mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
111110eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
112 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( c `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
113112mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
114113eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( c `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
115 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  oF  +  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  oF  +  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
116115mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  oF  +  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
117116eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  ( b  oF  +  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  +  c ) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
118 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  oF  x.  c )  ->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) )  =  ( ( b  oF  x.  c ) `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
119118mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  oF  x.  c )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
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) `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
120119eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  ( b  oF  x.  c )  ->  ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( a `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( ( b  oF  x.  c
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 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
121 fveq1 5851 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( F `
 ( y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )
122121mpteq2dv 4520 . . . 4  |-  ( a  =  F  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( a `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) ) )
123122eleq1d 2510 . . 3  |-  ( a  =  F  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( a `  (
y  e.  V  |->  ( G `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `
 x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) ) )
12430, 67, 95, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123mzpindd 30646 . 2  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  V  e.  _V  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W )
)  /\  F  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
1251, 3, 4, 5, 124syl31anc 1230 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. y  e.  V  G  e.  (mzPoly `  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( y  e.  V  |->  ( G `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093   [_csb 3417   {csn 4010    |-> cmpt 4491    X. cxp 4983    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519    ^m cmap 7418    + caddc 9493    x. cmul 9495   ZZcz 10865  mzPolycmzp 30622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-mzpcl 30623  df-mzp 30624
This theorem is referenced by:  mzprename  30650
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