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Theorem mzpsubmpt 29032
Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4376 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )
21nfel1 2584 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )
3 nfmpt1 4376 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )
43nfel1 2584 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V )
52, 4nfan 1860 . . 3  |-  F/ x
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )
6 mzpf 29025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
9 mptfcl 29009 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  B  e.  ZZ ) )
107, 8, 9sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  ZZ )
1110zcnd 10740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  CC )
1211mulm1d 9788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( -u 1  x.  B
)  =  -u B
)
1312oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  (
-u 1  x.  B
) )  =  ( A  +  -u B
) )
14 mzpf 29025 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
16 mptfcl 29009 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  A  e.  ZZ ) )
1715, 8, 16sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817zcnd 10740 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
1918, 11negsubd 9717 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
2013, 19eqtr2d 2471 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  -  B
)  =  ( A  +  ( -u 1  x.  B ) ) )
215, 20mpteq2da 4372 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  +  ( -u
1  x.  B ) ) ) )
22 elfvex 5712 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
23 neg1z 10673 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
24 mzpconstmpt 29029 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )
)
2522, 23, 24sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u
1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
26 mzpmulmpt 29031 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( -u 1  x.  B ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
2725, 26mpancom 669 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
28 mzpaddmpt 29030 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
2927, 28sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
3021, 29eqeltrd 2512 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^m cmap 7206   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588   ZZcz 10638  mzPolycmzp 29011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-mzpcl 29012  df-mzp 29013
This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  29033  eqrabdioph  29069  lerabdioph  29096  ltrabdioph  29099  rmydioph  29316  rmxdioph  29318  expdiophlem2  29324
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