Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpsubmpt Structured version   Unicode version

Theorem mzpsubmpt 30603
 Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt mzPoly mzPoly mzPoly
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4542 . . . . 5
21nfel1 2645 . . . 4 mzPoly
3 nfmpt1 4542 . . . . 5
43nfel1 2645 . . . 4 mzPoly
52, 4nfan 1875 . . 3 mzPoly mzPoly
6 mzpf 30596 . . . . . . . . 9 mzPoly
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8 mzPoly mzPoly
8 simpr 461 . . . . . . . 8 mzPoly mzPoly
9 mptfcl 30580 . . . . . . . 8
107, 8, 9sylc 60 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
1110zcnd 10979 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
1211mulm1d 10020 . . . . 5 mzPoly mzPoly
1312oveq2d 6311 . . . 4 mzPoly mzPoly
14 mzpf 30596 . . . . . . . 8 mzPoly
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
16 mptfcl 30580 . . . . . . 7
1715, 8, 16sylc 60 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
1817zcnd 10979 . . . . 5 mzPoly mzPoly
1918, 11negsubd 9948 . . . 4 mzPoly mzPoly
2013, 19eqtr2d 2509 . . 3 mzPoly mzPoly
215, 20mpteq2da 4538 . 2 mzPoly mzPoly
22 elfvex 5899 . . . . 5 mzPoly
23 neg1z 10911 . . . . 5
24 mzpconstmpt 30600 . . . . 5 mzPoly
2522, 23, 24sylancl 662 . . . 4 mzPoly mzPoly
26 mzpmulmpt 30602 . . . 4 mzPoly mzPoly mzPoly
2725, 26mpancom 669 . . 3 mzPoly mzPoly
28 mzpaddmpt 30601 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly
2927, 28sylan2 474 . 2 mzPoly mzPoly mzPoly
3021, 29eqeltrd 2555 1 mzPoly mzPoly mzPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wcel 1767  cvv 3118   cmpt 4511  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cmin 9817  cneg 9818  cz 10876  mzPolycmzp 30582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-mzpcl 30583  df-mzp 30584 This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  30604  eqrabdioph  30639  lerabdioph  30666  ltrabdioph  30669  rmydioph  30884  rmxdioph  30886  expdiophlem2  30892
 Copyright terms: Public domain W3C validator