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Theorem mzpsubmpt 30603
Description: The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mzpsubmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4542 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )
21nfel1 2645 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )
3 nfmpt1 4542 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )
43nfel1 2645 . . . 4  |-  F/ x
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V )
52, 4nfan 1875 . . 3  |-  F/ x
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )
6 mzpf 30596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
9 mptfcl 30580 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  B  e.  ZZ ) )
107, 8, 9sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  ZZ )
1110zcnd 10979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  B  e.  CC )
1211mulm1d 10020 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( -u 1  x.  B
)  =  -u B
)
1312oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  (
-u 1  x.  B
) )  =  ( A  +  -u B
) )
14 mzpf 30596 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
16 mptfcl 30580 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  ->  A  e.  ZZ ) )
1715, 8, 16sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817zcnd 10979 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
1918, 11negsubd 9948 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
2013, 19eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A  -  B
)  =  ( A  +  ( -u 1  x.  B ) ) )
215, 20mpteq2da 4538 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A  +  ( -u
1  x.  B ) ) ) )
22 elfvex 5899 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
23 neg1z 10911 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
24 mzpconstmpt 30600 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )
)
2522, 23, 24sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u
1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
26 mzpmulmpt 30602 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  -u 1 )  e.  (mzPoly `  V )  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( -u 1  x.  B ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
2725, 26mpancom 669 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
28 mzpaddmpt 30601 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  (
-u 1  x.  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
2927, 28sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  +  (
-u 1  x.  B
) ) )  e.  (mzPoly `  V )
)
3021, 29eqeltrd 2555 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  B )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A  -  B
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818   ZZcz 10876  mzPolycmzp 30582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-mzpcl 30583  df-mzp 30584
This theorem is referenced by:  mzpnegmpt  30604  eqrabdioph  30639  lerabdioph  30666  ltrabdioph  30669  rmydioph  30884  rmxdioph  30886  expdiophlem2  30892
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