Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Structured version   Unicode version

Theorem mzpresrename 30617
Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, V

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 5531 . . . 4  |-  ( x  o.  (  _I  |`  V ) )  =  ( x  |`  V )
21fveq2i 5875 . . 3  |-  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) )  =  ( F `  ( x  |`  V ) )
32mpteq2i 4536 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
x  |`  V ) ) )
4 simp1 996 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  W  e.  _V )
5 simp3 998 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 f1oi 5857 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V
7 f1of 5822 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V  ->  (  _I  |`  V ) : V --> V )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  V ) : V --> V
9 fss 5745 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  V ) : V --> V  /\  V  C_  W )  -> 
(  _I  |`  V ) : V --> W )
108, 9mpan 670 . . . 4  |-  ( V 
C_  W  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
11103ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
12 mzprename 30616 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  (  _I  |`  V ) : V --> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
134, 5, 11, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
143, 13syl5eqelr 2560 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481    |-> cmpt 4511    _I cid 4796    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   ZZcz 10876  mzPolycmzp 30588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-mzpcl 30589  df-mzp 30590
This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  30618  diophin  30640  rabdiophlem2  30669
  Copyright terms: Public domain W3C validator