Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzprename Structured version   Unicode version

Theorem mzprename 29109
Description: Simplified version of mzpsubst 29108 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, R    x, V

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
2 zex 10674 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  W  e.  _V )
4 elmapg 7246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  <-> 
x : W --> ZZ ) )
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  <->  x : W --> ZZ ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x : W
--> ZZ )
7 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  R : V
--> W )
8 fcompt 5898 . . . . . . 7  |-  ( ( x : W --> ZZ  /\  R : V --> W )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
10 fveq1 5709 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
b `  ( R `  a ) )  =  ( x `  ( R `  a )
) )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) )  =  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )
12 fvex 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 ( R `  a ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1514eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
x `  ( R `  a ) )  =  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) ) `  x
) )
1615mpteq2dva 4397 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( a  e.  V  |->  ( x `
 ( R `  a ) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) )
179, 16eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) )
1817fveq2d 5714 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( F `  ( x  o.  R
) )  =  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )
1918mpteq2dva 4397 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  R
) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) ) )
20193adant2 1007 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) ) ) )
21 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  _V )
22 ffvelrn 5860 . . . . . 6  |-  ( ( R : V --> W  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
23223ad2antl3 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
24 mzpproj 29096 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( R `  a )  e.  W )  -> 
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2521, 23, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2625ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
27 mzpsubst 29108 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
2826, 27syld3an3 1263 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
2920, 28eqeltrd 2517 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   _Vcvv 2991    e. cmpt 4369    o. ccom 4863   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    ^m cmap 7233   ZZcz 10665  mzPolycmzp 29081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-n0 10599  df-z 10666  df-mzpcl 29082  df-mzp 29083
This theorem is referenced by:  mzpresrename  29110  eldioph2  29123  eldioph2b  29124  diophren  29175
  Copyright terms: Public domain W3C validator