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Theorem mzprename 35300
Description: Simplified version of mzpsubst 35299 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, R    x, V

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
2 zex 10946 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  W  e.  _V )
4 elmapg 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  <-> 
x : W --> ZZ ) )
52, 3, 4sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  <->  x : W --> ZZ ) )
61, 5mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x : W
--> ZZ )
7 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  R : V
--> W )
8 fcompt 6074 . . . . . . 7  |-  ( ( x : W --> ZZ  /\  R : V --> W )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
96, 7, 8syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
10 fveq1 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
b `  ( R `  a ) )  =  ( x `  ( R `  a )
) )
11 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) )  =  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )
12 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 ( R `  a ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1413ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1514eqcomd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
x `  ( R `  a ) )  =  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) ) `  x
) )
1615mpteq2dva 4512 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( a  e.  V  |->  ( x `
 ( R `  a ) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) )
179, 16eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) )
1817fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( F `  ( x  o.  R
) )  =  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )
1918mpteq2dva 4512 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  R
) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) ) )
20193adant2 1024 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) ) ) )
21 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  _V )
22 ffvelrn 6035 . . . . . 6  |-  ( ( R : V --> W  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
23223ad2antl3 1169 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
24 mzpproj 35288 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( R `  a )  e.  W )  -> 
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2521, 23, 24syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2625ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
27 mzpsubst 35299 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
2826, 27syld3an3 1309 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
2920, 28eqeltrd 2517 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    |-> cmpt 4484    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   ZZcz 10937  mzPolycmzp 35273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-mzpcl 35274  df-mzp 35275
This theorem is referenced by:  mzpresrename  35301  eldioph2  35313  eldioph2b  35314  diophren  35365
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