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Theorem mzprename 30314
Description: Simplified version of mzpsubst 30313 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, R    x, V

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )
2 zex 10873 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  W  e.  _V )
4 elmapg 7433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  <-> 
x : W --> ZZ ) )
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  <->  x : W --> ZZ ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  x : W
--> ZZ )
7 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  R : V
--> W )
8 fcompt 6057 . . . . . . 7  |-  ( ( x : W --> ZZ  /\  R : V --> W )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( x `  ( R `
 a ) ) ) )
10 fveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
b `  ( R `  a ) )  =  ( x `  ( R `  a )
) )
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) )  =  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )
12 fvex 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 ( R `  a ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
)  =  ( x `
 ( R `  a ) ) )
1514eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
_V  /\  R : V
--> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W
) )  /\  a  e.  V )  ->  (
x `  ( R `  a ) )  =  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) ) `  x
) )
1615mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( a  e.  V  |->  ( x `
 ( R `  a ) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) )
179, 16eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( x  o.  R )  =  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) )
1817fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  W ) )  ->  ( F `  ( x  o.  R
) )  =  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )
1918mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  R : V --> W )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  R
) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) ) )
20193adant2 1015 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( b `
 ( R `  a ) ) ) `
 x ) ) ) ) )
21 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  _V )
22 ffvelrn 6019 . . . . . 6  |-  ( ( R : V --> W  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
23223ad2antl3 1160 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( R `  a
)  e.  W )
24 mzpproj 30301 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( R `  a )  e.  W )  -> 
( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2521, 23, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V )  /\  R : V --> W )  /\  a  e.  V )  ->  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) )  e.  (mzPoly `  W ) )
2625ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
27 mzpsubst 30313 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  A. a  e.  V  ( b  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( b `  ( R `  a ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( b `  ( R `  a )
) ) `  x
) ) ) )  e.  (mzPoly `  W
) )
2826, 27syld3an3 1273 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( a  e.  V  |->  ( ( b  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( b `  ( R `
 a ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
2920, 28eqeltrd 2555 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  R : V
--> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  R ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   ZZcz 10864  mzPolycmzp 30286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288
This theorem is referenced by:  mzpresrename  30315  eldioph2  30327  eldioph2b  30328  diophren  30379
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