Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpnegmpt Structured version   Unicode version

Theorem mzpnegmpt 29227
Description: Negation of a polynomial function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpnegmpt  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u A )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem mzpnegmpt
StepHypRef Expression
1 df-neg 9708 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
21mpteq2i 4482 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( 0  -  A ) )
3 elfvex 5825 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
4 0z 10767 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
5 mzpconstmpt 29223 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  0 )  e.  (mzPoly `  V ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  0 )  e.  (mzPoly `  V ) )
7 mzpsubmpt 29226 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  0 )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
86, 7mpancom 669 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( 0  -  A ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
92, 8syl5eqel 2546 1  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  -u A )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^m cmap 7323   0cc0 9392    - cmin 9705   -ucneg 9706   ZZcz 10756  mzPolycmzp 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-mzpcl 29206  df-mzp 29207
This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  29295
  Copyright terms: Public domain W3C validator