Theorem mzpmulmpt 29031

Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 29031. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmulmpt	|- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mzpmulmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpf 29025	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
2		ffn 5554	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) )
4		mzpf 29025	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
5		ffn 5554	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) )
7		ovex 6111	. . . 4 |- ( ZZ ^m V ) e. _V
8		ofmpteq 6333	. . . 4 |- ( ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
9	7, 8	mp3an1 1301	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
10	3, 6, 9	syl2an 477	. 2 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
11		mzpmul 29028	. 2 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) e. (mzPoly ` V ) )
12	10, 11	eqeltrrd 2513	1 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   e. cmpt 4345   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   oFcof 6313   ^m cmap 7206   x. cmul 9279   ZZcz 10638  mzPolycmzp 29011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-mzpcl 29012  df-mzp 29013

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  29032  mzpexpmpt  29034  mzpsubst  29038  mzpcompact2lem  29041  diophun  29065  dvdsrabdioph  29101  rmydioph  29316  rmxdioph  29318  expdiophlem2  29324