Theorem mzpmulmpt 30602

Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 30602. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmulmpt	|- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mzpmulmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpf 30596	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
2		ffn 5737	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) )
4		mzpf 30596	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
5		ffn 5737	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) )
7		ovex 6320	. . . 4 |- ( ZZ ^m V ) e. _V
8		ofmpteq 6553	. . . 4 |- ( ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
9	7, 8	mp3an1 1311	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
10	3, 6, 9	syl2an 477	. 2 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
11		mzpmul 30599	. 2 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) e. (mzPoly ` V ) )
12	10, 11	eqeltrrd 2556	1 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   |-> cmpt 4511   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   oFcof 6533   ^m cmap 7432   x. cmul 9509   ZZcz 10876  mzPolycmzp 30582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-mzpcl 30583  df-mzp 30584

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  30603  mzpexpmpt  30605  mzpsubst  30609  mzpcompact2lem  30612  diophun  30635  dvdsrabdioph  30671  rmydioph  30884  rmxdioph  30886  expdiophlem2  30892