Theorem mzpmulmpt 29246

Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 29246. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmulmpt	|- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mzpmulmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpf 29240	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
2		ffn 5670	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) )
4		mzpf 29240	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
5		ffn 5670	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) )
7		ovex 6228	. . . 4 |- ( ZZ ^m V ) e. _V
8		ofmpteq 6451	. . . 4 |- ( ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
9	7, 8	mp3an1 1302	. . 3 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) Fn ( ZZ ^m V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) Fn ( ZZ ^m V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
10	3, 6, 9	syl2an 477	. 2 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) )
11		mzpmul 29243	. 2 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) oF x. ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) ) e. (mzPoly ` V ) )
12	10, 11	eqeltrrd 2543	1 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> B ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A x. B ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   |-> cmpt 4461   Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   oFcof 6431   ^m cmap 7327   x. cmul 9401   ZZcz 10760  mzPolycmzp 29226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-mzpcl 29227  df-mzp 29228

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  29247  mzpexpmpt  29249  mzpsubst  29253  mzpcompact2lem  29256  diophun  29280  dvdsrabdioph  29316  rmydioph  29531  rmxdioph  29533  expdiophlem2  29539