Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpmfp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mzpmfp 35660
 Description: Relationship between multivariate Z-polynomials and general multivariate polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
mzpmfp mzPoly eval ℤring

Proof of Theorem mzpmfp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 19122 . . . . . 6 ring
2 eqid 2471 . . . . . . . 8 eval ℤring eval ℤring
32, 1evlval 18824 . . . . . . 7 eval ℤring evalSub ℤring
43rneqi 5067 . . . . . 6 eval ℤring evalSub ℤring
5 simpl 464 . . . . . 6
6 zringcrng 19118 . . . . . . 7 ring
76a1i 11 . . . . . 6 ring
8 zringring 19119 . . . . . . . 8 ring
91subrgid 18088 . . . . . . . 8 ring SubRingring
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 SubRingring
1110a1i 11 . . . . . 6 SubRingring
12 simpr 468 . . . . . 6
131, 4, 5, 7, 11, 12mpfconst 18830 . . . . 5 eval ℤring
14 simpl 464 . . . . . 6
156a1i 11 . . . . . 6 ring
1610a1i 11 . . . . . 6 SubRingring
17 simpr 468 . . . . . 6
181, 4, 14, 15, 16, 17mpfproj 18831 . . . . 5 eval ℤring
19 simp2r 1057 . . . . . 6 eval ℤring eval ℤring eval ℤring
20 simp3r 1059 . . . . . 6 eval ℤring eval ℤring eval ℤring
21 zringplusg 19123 . . . . . . 7 ring
224, 21mpfaddcl 18834 . . . . . 6 eval ℤring eval ℤring eval ℤring
2319, 20, 22syl2anc 673 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring eval ℤring
24 zringmulr 19125 . . . . . . 7 ring
254, 24mpfmulcl 18835 . . . . . 6 eval ℤring eval ℤring eval ℤring
2619, 20, 25syl2anc 673 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring eval ℤring
27 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
28 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
29 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
30 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
31 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
32 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
33 eleq1 2537 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
3413, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33mzpindd 35659 . . . 4 mzPoly eval ℤring
35 simprlr 781 . . . . . 6 eval ℤring eval ℤring mzPoly eval ℤring mzPoly mzPoly
36 simprrr 783 . . . . . 6 eval ℤring eval ℤring mzPoly eval ℤring mzPoly mzPoly
37 mzpadd 35651 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
3835, 36, 37syl2anc 673 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring mzPoly eval ℤring mzPoly mzPoly
39 mzpmul 35652 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
4035, 36, 39syl2anc 673 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring mzPoly eval ℤring mzPoly mzPoly
41 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
42 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
43 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
44 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
45 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
46 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
47 eleq1 2537 . . . . 5 mzPoly mzPoly
48 mzpconst 35648 . . . . . 6 mzPoly
4948adantlr 729 . . . . 5 eval ℤring mzPoly
50 mzpproj 35650 . . . . . 6 mzPoly
5150adantlr 729 . . . . 5 eval ℤring mzPoly
52 simpr 468 . . . . 5 eval ℤring eval ℤring
531, 21, 24, 4, 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 52mpfind 18836 . . . 4 eval ℤring mzPoly
5434, 53impbida 850 . . 3 mzPoly eval ℤring
5554eqrdv 2469 . 2 mzPoly eval ℤring
56 fvprc 5873 . . 3 mzPoly
57 df-evl 18807 . . . . . . 7 eval evalSub
5857reldmmpt2 6426 . . . . . 6 eval
5958ovprc1 6339 . . . . 5 eval ℤring
6059rneqd 5068 . . . 4 eval ℤring
61 rn0 5092 . . . 4
6260, 61syl6eq 2521 . . 3 eval ℤring
6356, 62eqtr4d 2508 . 2 mzPoly eval ℤring
6455, 63pm2.61i 169 1 mzPoly eval ℤring
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031  c0 3722  csn 3959   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548   cmap 7490   caddc 9560   cmul 9562  cz 10961  cbs 15199  crg 17858  ccrg 17859  SubRingcsubrg 18082   evalSub ces 18804   eval cevl 18805  ℤringzring 19116  mzPolycmzp 35635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-evls 18806  df-evl 18807  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-mzpcl 35636  df-mzp 35637 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator