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Theorem mzpindd 30606
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ch )
mzpindd.pr  |-  ( (
ph  /\  f  e.  V )  ->  th )
mzpindd.ad  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ze )
mzpindd.mu  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  si )
mzpindd.1  |-  ( x  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
mzpindd.2  |-  ( x  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
mzpindd.3  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mzpindd.4  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
mzpindd.5  |-  ( x  =  ( f  oF  +  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
mzpindd.6  |-  ( x  =  ( f  oF  x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
mzpindd.7  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
Assertion
Ref Expression
mzpindd  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  rh )
Distinct variable groups:    ph, x, f, g    ps, f, g    ch, x    th, x    ta, x    et, x    ze, x    si, x    rh, x    x, V, f, g   
x, A
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( f, g)    th( f, g)    ta( f, g)    et( f,
g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5899 . . . 4  |-  ( A  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
21adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  V  e.  _V )
3 mzpval 30592 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
5 ssrab2 3590 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
7 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
8 zex 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  _V
97, 8constmap 30573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ch )
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
1312elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ch ) )
1410, 11, 13sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
1514ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ZZ  e.  _V )
18 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  V  e.  _V )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )
20 elmapg 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  <-> 
g : V --> ZZ ) )
2120biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ZZ  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g : V --> ZZ )
2217, 18, 19, 21syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  g : V
--> ZZ )
23 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  f  e.  V )
2422, 23ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V
)  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )
2624, 25fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
278, 7elmap 7459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
29 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  V )  ->  th )
3029adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  th )
31 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
3231elrab 3266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  th ) )
3328, 30, 32sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
3433ralrimiva 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
3516, 34jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } ) )
36 zaddcl 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
38 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
407a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  V )  e. 
_V )
41 inidm 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  i^i  ( ZZ  ^m  V ) )  =  ( ZZ  ^m  V
)
4237, 38, 39, 40, 40, 41off 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
4342ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  et ) )  ->  ( f  oF  +  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( f  oF  +  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
45 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ze )
46453expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ze )
4744, 46jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )
)
48 zmulcl 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
5049, 38, 39, 40, 40, 41off 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )  ->  (
f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
5150ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  et ) )  ->  ( f  oF  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( f  oF  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
53 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  si )
54533expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  si )
5547, 52, 54jca32 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) ) )  ->  ( (
( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  oF  x.  g
) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  si ) ) )
5655ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ta )  /\  (
g : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ 
/\  et ) )  ->  ( ( ( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si ) ) ) )
578, 7elmap 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  f : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
5857anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ta ) )
598, 7elmap 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  g : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ )
6059anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  et )  <->  ( g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  et ) )
6158, 60anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) )  <-> 
( ( f : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  ta )  /\  ( g : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ  /\  et ) ) )
628, 7elmap 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  <-> 
( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
6362anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  <->  ( (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )
)
648, 7elmap 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  <-> 
( f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
6564anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )  <->  ( (
f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si )
)
6663, 65anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  /\  ( ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )
)  <->  ( ( ( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ze )  /\  ( ( f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  si ) ) )
6756, 61, 663imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) )  ->  ( ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ze )  /\  ( ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si )
) ) )
68 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
6968elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta ) )
70 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
7170elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  et ) )
7269, 71anbi12i 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  <-> 
( ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ta )  /\  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  et ) ) )
73 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f  oF  +  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
7473elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  oF  +  g )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  ze ) )
75 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( f  oF  x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
7675elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  oF  x.  g )  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  /\  si ) )
7774, 76anbi12i 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  oF  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )  <-> 
( ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ze )  /\  (
( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  si ) ) )
7867, 72, 773imtr4g 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  ->  ( ( f  oF  +  g )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) )
7978ralrimivv 2887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  (
( f  oF  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) )
8079adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  A. f  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  oF  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) )
816, 35, 80jca32 535 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  oF  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) )
82 elmzpcl 30586 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  ( { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  oF  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) ) )
8382adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )  /\  A. f  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } A. g  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  (
( f  oF  +  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps }  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } ) ) ) ) )
8481, 83mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V ) )
85 intss1 4303 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8684, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
874, 86eqsstrd 3543 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  V  e.  _V )  ->  (mzPoly `  V )  C_  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8887sselda 3509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  V  e.  _V )  /\  A  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  A  e.  { x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
8988an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V )
)  /\  V  e.  _V )  ->  A  e. 
{ x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  |  ps } )
902, 89mpdan 668 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A  e.  {
x  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps } )
91 mzpindd.7 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
9291elrab 3266 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  <->  ( A  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  rh ) )
9392simprbi 464 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ps }  ->  rh )
9490, 93syl 16 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  rh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {csn 4033   |^|cint 4288    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    ^m cmap 7432    + caddc 9507    x. cmul 9509   ZZcz 10876  mzPolyCldcmzpcl 30581  mzPolycmzp 30582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-mzpcl 30583  df-mzp 30584
This theorem is referenced by:  mzpmfp  30607  mzpmfpOLD  30608  mzpsubst  30609  mzpcompact2lem  30612  mzpcong  30838
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