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Theorem mzpincl 29067
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables  f 
g  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 29065 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2 mzpclall 29060 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 intss1 4141 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
5 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
6 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  ZZ )
7 mzpcl1 29062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
98ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  a )
10 ovex 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
11 snex 4531 . . . . . . . . 9  |-  { f }  e.  _V
1210, 11xpex 6506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { f } )  e.  _V
1312elint2 4133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  a )
149, 13sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
1514ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)
16 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
a  e.  (mzPolyCld `  V
) )
17 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
f  e.  V )
18 mzpcl2 29063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  a )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  /\  a  e.  (mzPolyCld `  V ) )  -> 
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2019ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  a )
2110mptex 5946 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 f ) )  e.  _V
2221elint2 4133 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  a )
2320, 22sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  f  e.  V )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )
2423ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)
2515, 24jca 532 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ) )
26 vex 2973 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726elint2 4133 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a )
28 vex 2973 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
2928elint2 4133 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) g  e.  a )
30 mzpcl34 29064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  ( (
f  oF  +  g )  e.  a  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  a ) )
31303expib 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  ( ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  (
( f  oF  +  g )  e.  a  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  a ) ) )
3231ralimia 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  ->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( ( f  oF  +  g )  e.  a  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  a ) )
33 r19.26 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  e.  a  /\  g  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a ) )
34 r19.26 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( ( f  oF  +  g )  e.  a  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  a )  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  oF  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  oF  x.  g )  e.  a ) )
3532, 33, 343imtr3i 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V ) f  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
g  e.  a )  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  oF  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  oF  x.  g )  e.  a ) )
3627, 29, 35syl2anb 479 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  oF  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V
) ( f  oF  x.  g )  e.  a ) )
37 ovex 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( f  oF  +  g )  e.  _V
3837elint2 4133 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  oF  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  oF  +  g )  e.  a )
39 ovex 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( f  oF  x.  g
)  e.  _V
4039elint2 4133 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  oF  x.  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  <->  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  oF  x.  g )  e.  a )
4138, 40anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  oF  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
)  <->  ( A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  oF  +  g )  e.  a  /\  A. a  e.  (mzPolyCld `  V )
( f  oF  x.  g )  e.  a ) )
4236, 41sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
)  ->  ( (
f  oF  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
4342a1i 11 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( f  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  g  e.  |^| (mzPolyCld `  V
) )  ->  (
( f  oF  +  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) )
4443ralrimivv 2805 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) ( ( f  oF  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) )
454, 25, 44jca32 535 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  oF  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) )
46 elmzpcl 29059 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  ( |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  (
|^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) )  /\  A. f  e.  |^| (mzPolyCld `  V ) A. g  e.  |^| (mzPolyCld `  V )
( ( f  oF  +  g )  e.  |^| (mzPolyCld `  V )  /\  ( f  oF  x.  g )  e. 
|^| (mzPolyCld `  V )
) ) ) ) )
4745, 46mpbird 232 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
481, 47eqeltrd 2515 1  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  e.  (mzPolyCld `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   {csn 3875   |^|cint 4126    e. cmpt 4348    X. cxp 4836   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    oFcof 6316    ^m cmap 7212    + caddc 9283    x. cmul 9285   ZZcz 10644  mzPolyCldcmzpcl 29054  mzPolycmzp 29055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-mzpcl 29056  df-mzp 29057
This theorem is referenced by:  mzpconst  29068  mzpproj  29070  mzpadd  29071  mzpmul  29072
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