Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpincl Structured version   Unicode version

Theorem mzpincl 35028
 Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl mzPoly mzPolyCld

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 35026 . 2 mzPoly mzPolyCld
2 mzpclall 35021 . . . . 5 mzPolyCld
3 intss1 4242 . . . . 5 mzPolyCld mzPolyCld
42, 3syl 17 . . . 4 mzPolyCld
5 simpr 459 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld
6 simplr 754 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
7 mzpcl1 35023 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
85, 6, 7syl2anc 659 . . . . . . . 8 mzPolyCld
98ralrimiva 2818 . . . . . . 7 mzPolyCld
10 ovex 6306 . . . . . . . . 9
11 snex 4632 . . . . . . . . 9
1210, 11xpex 6586 . . . . . . . 8
1312elint2 4234 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld
149, 13sylibr 212 . . . . . 6 mzPolyCld
1514ralrimiva 2818 . . . . 5 mzPolyCld
16 simpr 459 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld
17 simplr 754 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
18 mzpcl2 35024 . . . . . . . . 9 mzPolyCld
1916, 17, 18syl2anc 659 . . . . . . . 8 mzPolyCld
2019ralrimiva 2818 . . . . . . 7 mzPolyCld
2110mptex 6124 . . . . . . . 8
2221elint2 4234 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld
2320, 22sylibr 212 . . . . . 6 mzPolyCld
2423ralrimiva 2818 . . . . 5 mzPolyCld
2515, 24jca 530 . . . 4 mzPolyCld mzPolyCld
26 vex 3062 . . . . . . . . 9
2726elint2 4234 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
28 vex 3062 . . . . . . . . 9
2928elint2 4234 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
30 mzpcl34 35025 . . . . . . . . . . 11 mzPolyCld
31303expib 1200 . . . . . . . . . 10 mzPolyCld
3231ralimia 2795 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld
33 r19.26 2934 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
34 r19.26 2934 . . . . . . . . 9 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
3532, 33, 343imtr3i 265 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
3627, 29, 35syl2anb 477 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
37 ovex 6306 . . . . . . . . 9
3837elint2 4234 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
39 ovex 6306 . . . . . . . . 9
4039elint2 4234 . . . . . . . 8 mzPolyCld mzPolyCld
4138, 40anbi12i 695 . . . . . . 7 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4236, 41sylibr 212 . . . . . 6 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4342a1i 11 . . . . 5 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4443ralrimivv 2824 . . . 4 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
454, 25, 44jca32 533 . . 3 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
46 elmzpcl 35020 . . 3 mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld mzPolyCld
4745, 46mpbird 232 . 2 mzPolyCld mzPolyCld
481, 47eqeltrd 2490 1 mzPoly mzPolyCld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wcel 1842  wral 2754  cvv 3059   wss 3414  csn 3972  cint 4227   cmpt 4453   cxp 4821  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519   cmap 7457   caddc 9525   cmul 9527  cz 10905  mzPolyCldcmzpcl 35015  mzPolycmzp 35016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-mzpcl 35017  df-mzp 35018 This theorem is referenced by:  mzpconst  35029  mzpproj  35031  mzpadd  35032  mzpmul  35033
 Copyright terms: Public domain W3C validator