Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpf Structured version   Unicode version

Theorem mzpf 30300
Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpf  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  F :
( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )

Proof of Theorem mzpf
StepHypRef Expression
1 elfvex 5893 . . . . 5  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  V  e.  _V )
2 mzpval 30296 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  =  |^| (mzPolyCld `  V ) )
3 mzpclall 30291 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
4 intss1 4297 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( V  e.  _V  ->  |^| (mzPolyCld `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
62, 5eqsstrd 3538 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPoly `  V )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  (mzPoly `  V
)  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) ) )
87sselda 3504 . . 3  |-  ( ( F  e.  (mzPoly `  V )  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  F  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
98anidms 645 . 2  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  F  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
10 zex 10873 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
11 ovex 6309 . . 3  |-  ( ZZ 
^m  V )  e. 
_V
1210, 11elmap 7447 . 2  |-  ( F  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  F : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
139, 12sylib 196 1  |-  ( F  e.  (mzPoly `  V
)  ->  F :
( ZZ  ^m  V
) --> ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   |^|cint 4282   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   ZZcz 10864  mzPolyCldcmzpcl 30285  mzPolycmzp 30286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288
This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  30305  mzpmulmpt  30306  mzpsubmpt  30307  mzpexpmpt  30309  mzpsubst  30313  mzpcompact2lem  30316  diophin  30338  diophun  30339  eq0rabdioph  30342  eqrabdioph  30343  rabdiophlem1  30366  rabdiophlem2  30367
  Copyright terms: Public domain W3C validator