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Theorem mzpclall 35538
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 35535 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables  v 
f  g  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 6321 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
3 fveq2 5881 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (mzPolyCld `  v )  =  (mzPolyCld `  V ) )
42, 3eleq12d 2501 . 2  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
) )
5 ssid 3483 . . 3  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
6 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
^m  v )  e. 
_V
7 zex 10953 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
86, 7constmap 35524 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
98rgen 2781 . . . . 5  |-  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )
10 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
117, 10elmap 7511 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  <->  g :
v --> ZZ )
12 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : v --> ZZ 
/\  f  e.  v )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
1311, 12sylanb 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  /\  f  e.  v )  ->  ( g `  f
)  e.  ZZ )
1413ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  v ) )  -> 
( g `  f
)  e.  ZZ )
15 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )
1614, 15fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ )
177, 6elmap 7511 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
1816, 17sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
1918rgen 2781 . . . . 5  |-  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
209, 19pm3.2i 456 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
21 zaddcl 10984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
2221adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
23 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
24 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
256a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  v )  e. 
_V )
26 inidm 3671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  v )  i^i  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  v
)
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6560 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
28 zmulcl 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
2928adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6560 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
3127, 30jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ  /\  (
f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
327, 6elmap 7511 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  f :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
337, 6elmap 7511 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  g :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3432, 33anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
357, 6elmap 7511 . . . . . . 7  |-  ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
367, 6elmap 7511 . . . . . . 7  |-  ( ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3735, 36anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  ( f  oF  x.  g
) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ ) )
3831, 34, 373imtr4i 269 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  -> 
( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
3938rgen2a 2849 . . . 4  |-  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
4020, 39pm3.2i 456 . . 3  |-  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
41 elmzpcl 35537 . . . 4  |-  ( v  e.  _V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) ) )
4210, 41ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) )
435, 40, 42mpbir2an 928 . 2  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )
444, 43vtoclg 3139 1  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   {csn 3998    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    ^m cmap 7483    + caddc 9549    x. cmul 9551   ZZcz 10944  mzPolyCldcmzpcl 35532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-mzpcl 35534
This theorem is referenced by:  mzpcln0  35539  mzpincl  35545  mzpf  35547
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