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Theorem mzpclall 30578
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 30575 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables  v 
f  g  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6303 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  v )  =  ( ZZ  ^m  V
) )
21oveq2d 6311 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
3 fveq2 5872 . . 3  |-  ( v  =  V  ->  (mzPolyCld `  v )  =  (mzPolyCld `  V ) )
42, 3eleq12d 2549 . 2  |-  ( v  =  V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
) )
5 ssid 3528 . . 3  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
6 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
^m  v )  e. 
_V
7 zex 10885 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
86, 7constmap 30564 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ZZ  ->  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
98rgen 2827 . . . . 5  |-  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )
10 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
117, 10elmap 7459 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  <->  g :
v --> ZZ )
12 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : v --> ZZ 
/\  f  e.  v )  ->  ( g `  f )  e.  ZZ )
1311, 12sylanb 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  /\  f  e.  v )  ->  ( g `  f
)  e.  ZZ )
1413ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  v  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  v ) )  -> 
( g `  f
)  e.  ZZ )
15 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v )  |->  ( g `
 f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )
1614, 15fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ )
177, 6elmap 7459 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  <->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
1816, 17sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( f  e.  v  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
1918rgen 2827 . . . . 5  |-  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )
209, 19pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  v
)  X.  { f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )
21 zaddcl 10915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
2221adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
23 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
24 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
256a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  ( ZZ  ^m  v )  e. 
_V )
26 inidm 3712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ^m  v )  i^i  ( ZZ  ^m  v ) )  =  ( ZZ  ^m  v
)
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6549 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
28 zmulcl 10923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  x.  b )  e.  ZZ )
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6549 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )
3127, 30jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ 
/\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ )  ->  (
( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ  /\  (
f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
327, 6elmap 7459 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  f :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
337, 6elmap 7459 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  <->  g :
( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3432, 33anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( f : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  g : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ ) )
357, 6elmap 7459 . . . . . . 7  |-  ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
367, 6elmap 7459 . . . . . . 7  |-  ( ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  <-> 
( f  oF  x.  g ) : ( ZZ  ^m  v
) --> ZZ )
3735, 36anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  <->  ( (
f  oF  +  g ) : ( ZZ  ^m  v ) --> ZZ  /\  ( f  oF  x.  g
) : ( ZZ 
^m  v ) --> ZZ ) )
3831, 34, 373imtr4i 266 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) ) )  -> 
( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
3938rgen2a 2894 . . . 4  |-  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) )
4020, 39pm3.2i 455 . . 3  |-  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  v )  X.  {
f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  /\  A. f  e.  v  ( g  e.  ( ZZ  ^m  v
)  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) )
41 elmzpcl 30577 . . . 4  |-  ( v  e.  _V  ->  (
( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) ) )
4210, 41ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )  <->  ( ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  v )  X. 
{ f } )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  A. f  e.  v  (
g  e.  ( ZZ 
^m  v )  |->  ( g `  f ) )  e.  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) ) )  /\  A. f  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v ) ) A. g  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ( ( f  oF  +  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  v
) )  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  ( ZZ  ^m  ( ZZ 
^m  v ) ) ) ) ) )
435, 40, 42mpbir2an 918 . 2  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  v ) )  e.  (mzPolyCld `  v )
444, 43vtoclg 3176 1  |-  ( V  e.  _V  ->  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e.  (mzPolyCld `  V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {csn 4033    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    ^m cmap 7432    + caddc 9507    x. cmul 9509   ZZcz 10876  mzPolyCldcmzpcl 30572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-mzpcl 30574
This theorem is referenced by:  mzpcln0  30579  mzpincl  30585  mzpf  30587
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