Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclall Structured version   Unicode version

Theorem mzpclall 35538
 Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 35535 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall mzPolyCld

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . 4
21oveq2d 6321 . . 3
3 fveq2 5881 . . 3 mzPolyCld mzPolyCld
42, 3eleq12d 2501 . 2 mzPolyCld mzPolyCld
5 ssid 3483 . . 3
6 ovex 6333 . . . . . . 7
7 zex 10953 . . . . . . 7
86, 7constmap 35524 . . . . . 6
98rgen 2781 . . . . 5
10 vex 3083 . . . . . . . . . . 11
117, 10elmap 7511 . . . . . . . . . 10
12 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10
1311, 12sylanb 474 . . . . . . . . 9
1413ancoms 454 . . . . . . . 8
15 eqid 2422 . . . . . . . 8
1614, 15fmptd 6061 . . . . . . 7
177, 6elmap 7511 . . . . . . 7
1816, 17sylibr 215 . . . . . 6
1918rgen 2781 . . . . 5
209, 19pm3.2i 456 . . . 4
21 zaddcl 10984 . . . . . . . . 9
2221adantl 467 . . . . . . . 8
23 simpl 458 . . . . . . . 8
24 simpr 462 . . . . . . . 8
256a1i 11 . . . . . . . 8
26 inidm 3671 . . . . . . . 8
2722, 23, 24, 25, 25, 26off 6560 . . . . . . 7
28 zmulcl 10992 . . . . . . . . 9
2928adantl 467 . . . . . . . 8
3029, 23, 24, 25, 25, 26off 6560 . . . . . . 7
3127, 30jca 534 . . . . . 6
327, 6elmap 7511 . . . . . . 7
337, 6elmap 7511 . . . . . . 7
3432, 33anbi12i 701 . . . . . 6
357, 6elmap 7511 . . . . . . 7
367, 6elmap 7511 . . . . . . 7
3735, 36anbi12i 701 . . . . . 6
3831, 34, 373imtr4i 269 . . . . 5
3938rgen2a 2849 . . . 4
4020, 39pm3.2i 456 . . 3
41 elmzpcl 35537 . . . 4 mzPolyCld
4210, 41ax-mp 5 . . 3 mzPolyCld
435, 40, 42mpbir2an 928 . 2 mzPolyCld
444, 43vtoclg 3139 1 mzPolyCld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  cvv 3080   wss 3436  csn 3998   cmpt 4482   cxp 4851  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543   cmap 7483   caddc 9549   cmul 9551  cz 10944  mzPolyCldcmzpcl 35532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-mzpcl 35534 This theorem is referenced by:  mzpcln0  35539  mzpincl  35545  mzpf  35547
 Copyright terms: Public domain W3C validator