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Theorem mzpcl2 35281
Description: Defining property 2 of a polynomially closed function set  P: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
Distinct variable groups:    g, V    P, g    g, F

Proof of Theorem mzpcl2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
2 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5908 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  V  e.  _V )
5 elmzpcl 35277 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 213 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprlr 771 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )
10 fveq2 5881 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
g `  f )  =  ( g `  F ) )
1110mpteq2dv 4513 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 F ) ) )
1211eleq1d 2498 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P  <->  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P ) )
1312rspcva 3186 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 665 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   {csn 4002    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    ^m cmap 7480    + caddc 9541    x. cmul 9543   ZZcz 10937  mzPolyCldcmzpcl 35272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6308  df-mzpcl 35274
This theorem is referenced by:  mzpincl  35285  mzpproj  35288
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