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Theorem mzpcl2 29071
Description: Defining property 2 of a polynomially closed function set  P: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
Distinct variable groups:    g, V    P, g    g, F

Proof of Theorem mzpcl2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5722 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  V  e.  _V )
5 elmzpcl 29067 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 210 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprlr 762 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )
10 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
g `  f )  =  ( g `  F ) )
1110mpteq2dv 4384 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  =  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( g `
 F ) ) )
1211eleq1d 2509 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P  <->  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P ) )
1312rspcva 3076 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  ->  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 661 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  V )  ->  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  F ) )  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   {csn 3882    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323    ^m cmap 7219    + caddc 9290    x. cmul 9292   ZZcz 10651  mzPolyCldcmzpcl 29062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ov 6099  df-mzpcl 29064
This theorem is referenced by:  mzpincl  29075  mzpproj  29078
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