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Theorem mzpcl1 30293
Description: Defining property 1 of a polynomially closed function set  P: it contains all constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )

Proof of Theorem mzpcl1
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  F  e.  ZZ )
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5893 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  V  e. 
_V )
5 elmzpcl 30290 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 210 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprll 761 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P )
10 sneq 4037 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  { f }  =  { F } )
1110xpeq2d 5023 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { F } ) )
1211eleq1d 2536 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P ) )
1312rspcva 3212 . 2  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P
)  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 661 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522    ^m cmap 7420    + caddc 9495    x. cmul 9497   ZZcz 10864  mzPolyCldcmzpcl 30285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ov 6287  df-mzpcl 30287
This theorem is referenced by:  mzpincl  30298  mzpconst  30299
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