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Theorem mzpcl1 30901
Description: Defining property 1 of a polynomially closed function set  P: it contains all constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )

Proof of Theorem mzpcl1
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  F  e.  ZZ )
2 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5875 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  V  e. 
_V )
5 elmzpcl 30898 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 210 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprll 761 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P )
10 sneq 4026 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  { f }  =  { F } )
1110xpeq2d 5012 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { F } ) )
1211eleq1d 2523 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P ) )
1312rspcva 3205 . 2  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P
)  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 659 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {csn 4016    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511    ^m cmap 7412    + caddc 9484    x. cmul 9486   ZZcz 10860  mzPolyCldcmzpcl 30893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-mzpcl 30895
This theorem is referenced by:  mzpincl  30906  mzpconst  30907
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